Волновые процессы в материальных средах: Учебное пособие, страница 12

Поляризация этих трех волн, распространяющихся с разными скоростями, всегда взаимно перпендикулярны. Векторы потока энергии, определяющие направление переноса энергии для каждой из этих волн, образуют разные углы с волновыми векторами. Такие волны не представляют интереса на практике. Для устройств в этом случае приходится выбирать особые направления в кристаллах, такие, как оси симметрии, вдоль которых распространяются чистые моды. У них вектор потока энергии и волновой вектор параллельны как в изотропном твердом теле.

На поверхности бесконечной среды может распространяться сложная волна – волна Рэлея. В случае изотропного твердого тела эта волна содержит продольную и поперечную компоненты, сдвинутые по фазе на π/2 и лежащие в сагиттальной плоскости, определенной волновым вектором и нормалью к поверхности (рис. 10).

Рис. 10. Волна Рэлея

Каждая из компонент убывает с ростом глубины по-разному. Поскольку продольная компонента меняет знак, проходя через нуль на глубине, примерно равной 0,2l, поляризация волны становится чисто поперечной, а затем эллиптической с противоположным направлением вращения. Смещение частиц становится равным нулю на глубине порядка 2l (рис. 11).

Рис. 11. Колебания частицы в волне Рэлея

На поверхности пьезоэлектрической среды возможно распространение поперечной поверхностной волны, поляризованной параллельно поверхности (рис. 12), с глубиной проникновения тем меньше, чем сильнее пьезоэлектрические свойства среды. Толщина слоя вещества, находящегося в движении под действием этих волн, называемых волнами Гуляева – Блюстейна, больше, чем в случае волн Рэлея, и может составить около 100 l[1].

Рис. 12. Волна Гуляева – Блюстейна

Поверхностные упругие волны, распространяющиеся вдоль поверхности полубесконечного пьезоэлектрика, в общем случае могут иметь три компоненты механического смещения  и три компоненты электрического поля .

При определенных условиях, зависящих от симметрии кристаллов, эта общая форма поверхностных волн разделяется на две простые формы. Такие условия встречаются, когда распространение волны не зависит от поперечной координаты и существует в особых направлениях кристаллов некоторых классов симметрии.

Математически это разложение возможно, когда уравнения, регулирующие механические смещения и электрические поля, сокращаются до двух независимых наборов уравнений. В одном наборе имеются две компоненты механических смещений , поперечное смещение  и некоторые компоненты электрического поля. Математически, в безразмерной форме, их можно представить в виде:

Случай 1:     

Случай 2:     

Согласно принятой классификации различают:

1. Рэлеевскую пьезоэлектрическую поверхностную волну:

2. Упругую Рэлеевскую волну:

3. Электрическую волну Гуляева – Блюстейна:

4. Поперечную поверхностную волну:

4.2. Характеристические и волновые уравнения
поверхностных акустических волн,
распространяющихся в твердых средах

Рассмотрим распространение упругой пьезоэлектрической волны вдоль поверхности полубесконечного тела, ограниченного плоскостью х₃ = 0. Ось х₃ будем считать направленной перпендикулярно поверхности (рис. 13).

Рис. 13. Система координат

Система уравнений, которой должен подчиняться волновой процесс, состоит из уравнений упругости, уравнений состояния пьезоэлектрика и уравнений Максвелла:

                                                                                                    (17)

Здесь – уравнение движения;  – ускорение частицы твердого тела, участвующей в колебательном движении;  – сила, действующая на единичный объем.

Ускорение  вдоль оси i, сообщаемое этой силой массе r единичного объема определяется из уравнения

.

Первое уравнение системы (17), таким образом, является уравнением движения

Уравнение два системы (17) есть тензор деформаций.

Уравнения два и три – уравнения состояния пьезоэлектрических кристаллов для тензора механических напряжений Т_ik и электрической индукции D_n.

Член уравнения три C_iklmS_lm выражает закон Гука, а e_jikE_j – пьезоэлектрическую добавку к компонентам тензора механических напряжений за счет обратного пьезоэлектрического эффекта, а всё уравнение представляет обобщенный закон Гука для пьезоэлектрических кристаллов.

Член уравнения четыре e_nlmS_lm обозначает добавку к вектору электрической индукции за счет прямого пьезоэлектрического эффекта. Оператор Лапласа:

Т_ik, S_lm, C_iklm – компоненты тензоров соответственно напряжений, деформаций и упругих модулей; ε_jn – компоненты тензора диэлектрической проницаемости; e_ijk – компоненты тензора пьезоэлектрической постоянной; ρ – плотность среды; E_j, D_n – компоненты вектора напряженности электрического поля и электрической индукции, пятое уравнение системы (17) – есть волновое уравнение Гельмгольца, m₀ - магнитная постоянная вакуума.

Компоненты механических смещений и напряженности электрического поля представлены в виде:

                                                                                                    (18)

где A_i, B_i – константы; i=1, 2, 3; к – волновое число; a – произвольная постоянная затухания в направлении оси x₃.

Предполагаемое решение соответствует поверхностной волне в том случае, если величина a в каждом члене решения такова, что амплитуды всех компонент смещения стремятся к нулю при x₃→-∞.

Подстановка (18) в (17) приводит к системе однородных уравнений относительно A_i и B_i.

                                                                                                    (19)

где [Г_ij] записывается в форме (20).

Для получения нетривиального решения этой системы потребуем равенства нулю детерминанта системы (19)

[Г_ij] = 0.                                                                                                    (21)

Это приведет к уравнению пятой степени относительно a². Корни этого уравнения, лежащие в верхней комплексной полуплоскости, соответствуют волнам вида (18), неограниченно нарастающим при x₃→-∞. В задаче о распространении поверхностных волн эти решения нужно отбросить.