Расчёт плоской статически неопределимой рамы методом сил. Расчёт плоской статически неопределимой рамы методом перемещений, страница 5

Вычисляем коэффициенты канонических уравнений – единичные перемещения, учитывая заданное соотношение изгибных жёсткостей сечений горизонтальных и вертикальных стер-жней EI₁ : EI₂=2 : 1.  Обозначив для краткости EI₂= EI ,  имеем EI₁= 2EI.

’

        Главные коэффициенты – собственные перемещения d₁₁ и  d₂₂  – находим «перемножением» каждой из эпюр М₁ и М₂ самой на себя. При этом учитываем, что эпюра М₁ имеет два одинаковых по длинам и абсолютным значениям ординат треугольных участка на вертикальных стержнях и два – на горизонтальном,   а эпюра М₂ – на горизонтальных. Используем правило Верещагина (1.5):

  

Побочные коэффициенты d₁₂ и d₂₁ находим «перемножением» единичных эпюр М₁ и М₂ , принимая во внимание равенство d₁₂ и d₂₁ по теореме Максвелла о взаимности единичных перемещений. Интеграл в формуле Максвелла – Мора на нижнем горизонтальном участке вычисляем по формуле Симпсона (1.6), а на верхнем вертикальном – по правилу Верещагина. На остальных участках результат интегрирования – заведомо нулевой, так как по всей длине этих участков либо М₁ = 0, либо М₂ = 0.

 

Свободные члены канонических уравнений – грузовые перемещения D_1F  и  D_2F  – определяем «перемножением» эпюры M_F с единичными эпюрами М₁ и М₂ . Для вычисления интегралов в выражениях D_1F  и  D_2F  на двух грузовых участках эпюры M_F  верхнего горизонтального стержня используем формулу Симпсона, а на всех остальных участках – правило Верещагина.

6. Проверка правильности определения коэффициентов

и свободных членов канонических уравнений

Для проверки используется эпюра суммарных единичных моментов  M_s ,  получаемых  от  одновременного  действия  всех основных неизвестных,  равных единице  ( X_k  = 1,  k = 1, 2, …, n ). При отсутствии ошибок в вычислении коэффициентов и свободных членов должны выполняться равенства

(1.8)

(1.7)

                          

где d_ss и D_sF– обобщённые перемещения, представляющие собой суммы перемещений в основной системе по направлениям удалённых связей соответственно от одновременного действия  всех  основных неизвестных

Х₁ = 1,  Х₂ = 1, …, Х_n = 1  и от нагрузки.

l

*⁾ Площадь параболического сегмента: .                             f

Строим  эпюру M_s ,  рассчитывая  основную систему  на  совместное действие Х₁ = 1 и Х₂ = 1*⁾  (рис. 7).

Опорные реакции в суммарном единичном состоянии:

Н_А,s = 1/(4 м);   Н_Т,s = 0;

 V_P,s  = –1/(6 м); 

S x = 0 для всей рамы Н_Р,s = Н_А,s = 1/(4 м); 

S m_G = 0 V_A,s = (H_A,s * 8 м + V_P,s * 4 м) / 6 м = 1/(6 м);

y

   S y = 0  V_T,s = – V_A,s – V_P,s = 0.

0,75

0,25

0,5

1

      

P

1

HP,s

G

A

               а)                                                    б)

 

6 м

6 м

                                                                                 

    

    Рис. 7

Для контроля суммируем эпюры М₁ и М₂ – получается тот же результат – эпюра M_s , что служит дополнительным свидетельством правильности построения всех единичных эпюр – М₁ ,  М₂  и M_s .

Вычисляем обобщённые перемещения d_ss и D_sF :

 

*⁾ Не следует получать эпюру M_s суммированием единичных эпюр M_i , так как при этом  в неё могут быть  перенесены ошибки,  не  обнаруженные в эпюрах M_i .