Расчёт плоской статически неопределимой рамы методом сил. Расчёт плоской статически неопределимой рамы методом перемещений, страница 24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                    (2.7)

может быть представлена в матричной форме:

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

        или    (2.8)

r                      Z         R_F

где r – матрица  внешней жёсткости  основной  системы  метода перемещений  по направлениям   основных неизвестных  Z

(матрица единичных реакций связей, введённых в расчётные узлы;  коэффициентов при основных неизвестных);

Z – вектор*⁾ основных неизвестных;

R_F – вектор*⁾ реакций введённых связей от заданной нагрузки

(свободных членов канонических уравнений);

n = n_k ,  n_k – степень кинематической неопределимости.

Матрицы r и R_F вычисляются по следующим формулам:

r = a^т;                                    (2.9)

R_F  = a^тc^т;                            (2.10)

где a = [ a₁ a₂ … a_i…a_n ] – матрица перемещений  концевых сечений элементов  основной системы  от  единичных смещений введённых  связей (столбцы a₁, a₂, …, a_n  – соответственно от Z₁ = 1, Z₂ = 1, …, Z_n = 1);

*⁾ При расчёте на несколько (n_V) вариантов заданных нагрузок Z и R_F  –

матрицы, имеющие n_V столбцов.

	ai =

 

тов  ОСМП  в   i-м  единичном состоянии  (от  единичного смещения i-й связи,  Zi = 1); j – номер элемента;  m – количество элементов;

                      –  вектор  перемещений  концевых  сечений  элеменa_ji – вектор перемещений концевых сечений  j-го элемента от единичного смещения i-й связи;

K – матрица   внутреннейжёсткости   основной   системы, формируемая как квазидиагональная  из  матриц  жёсткости элементов:  K = diag [ K₁  K₂ … K_j … K_m ];

ца с nV столбцами) усилий в концевых  сечениях  элементов ОСМП (концевых усилий) в грузовом состоянии – от заданных нагрузок;

     S_F =– вектор (при поливариантном загружении – матри-

S_jF – вектор (матрица) концевых усилий j-го элемента в грузовом состоянии;

c = [ c₁ c₂ … c_i … c_n ] – матрица перемещений узлов основной системы  от  единичных смещений введённых связей (столбцы с₁, с₂, …, с_n – соответственно от Z₁ = 1, Z₂ = 1, …, Z_n = 1);

ном состоянии (от смещения Zi = 1);  t – номер  узла;   nu – число  узлов,  перемещения которых могут быть отличными от нуля;

       с_i =–  вектор  перемещений узлов ОСМП  в  i-м  единичc_ti – вектор компонентов перемещений  t-го узла  от  единич

Fu =–

              ного смещения i-й связи;

вектор  (или  матрица  с  n_V  столбцами)  заданных узловых нагрузок (сосредоточенных сил и моментов;

F_t – вектор (матрица) сосредоточенных нагрузок в t-м узле.

Структура  матриц  a_ji ,  K_j  и  S_jF  зависит  от  типа  элемента ОСМП, определяемого закреплениями его концов (шарнир, защемление)  и  видом  испытываемой  им  деформации  (изгиб,  растяжение - сжатие), – см. табл. 3  Приложения.

Матрицы c_ti и F_t  имеют следующий вид:

uti

uti

        а) для жёсткого узла                 б) для шарнирного узла

t

vti

vti

qti

                 

	t