В.И. Роев. Расчет статически и динамически нагруженных систем с использованием программного комплекса DINAM, страница 8

      для прямоугольника.

Матрица  строится подстановкой координат узлов, которым задаются перемещения, в  и ее производных [].

При решении задачи узлы обходятся в последовательности . Сначала для каждого узла фиксируется , затем  и .

Матрица жесткости  равна матрице

                             (33)

для прямоугольника,                                        

                      (34)

для треугольника.

Матрица  – матрица деформаций, состоящая из трех строк. Компоненты первой строки  , второй , третьей – .                                             

                         ,              (35)

                          .

Распределенная масса заменяется узловой. Узловые сосредоточенные массы  для прямоугольника равны произведениям примыкающих к узлам площадям на интенсивность распределенной массы . Узловые сосредоточенные массы для треугольника определяются по правилу рычага (массы распределяются между узлами обратно пропорционально длинам медиан) и равны:                                      

                             ,                                         

                             ,                          

                              ,   

                       ,                 

                 ,                     

     .

Моменты инерции узловых масс условно принимаются равными  , или нулю. В последнем случае угловым связям, накладываемым на систему, присваиваются последние порядковые номера. 

Матрица  – диагональная. Диагональные элементы записываются в последовательности:

   , , ,..

Распределенная нагрузка заменяется узловой. Узловые силы определяются аналогично узловым массам.

Зависимость между усилиями и деформациями имеет вид:

                                        .                     (36)

Нормальные усилия определяются для средин сторон четырех угольника, так как значения их больше чем в узлах. Сдвигающие усилия определяются в средней точке. В треугольнике усилия принимаются постоянными для всего элемента.

Вектор  усилий равен вектору

    (37)

для прямоугольного элемента (верхние индексы – стороны прямоугольника). Для треугольного элемента                                                    

                               .                          (38)

Вектор усилий, в случае узловой нагрузки и узловых сил инерции, определяется матричным произведением

                                .                            (39)

 – матрица распределенных усилий от единичных смещений узлов. Компоненты  записываются в последовательности: .

Матрица преобразований  ‑того элемента в ‑том узле от глобальной системы координат к локальной определяется произведением                                                       

                                        ,                                          (40)

в котором  матрица перемещений ‑того узла -того элемента в глобальной системе координат, а

                           .

 – угол между глобальными и локальными осями. Он отсчитывается против хода часовой стрелки, если смотреть из начала координат глобальной системы.

1.5  Сооружения на упругом основании

Конструкция, в том числе и основание, разбивается на элементы. Элементам основания присваивается тип, одинаковый с типом расположенного на нем конструктивного элемента. Перемещения узлов основания принимаются равными перемещениям расположенного на нем конструктивного элемента. Влияние упругих сил основания заменяются эквивалентными узловыми силами исходя из равенства работ узловых и распределенных сил. В случае винклеровского основания давление со стороны основания на точку расположенного на нем элемента равно .  –коэффициент упругого основания. Матрица узловых сил, в этом случае, равна матрице

                                                          (41)

и определяется по формулам для  подстановкой в них вместо интенсивности распределенной массы коэффициента .

Реакции основания от единичных смещений узлов равны

                            .                         (42)

В уравнениях для определения основных неизвестных

                      =                    (43).