В.И. Роев. Расчет статически и динамически нагруженных систем с использованием программного комплекса DINAM, страница 5

 –коэффициент формы поперечного сечения, –относитель-ный угол сдвига.Если деформация сдвига не учитывается  c =0.

       Изгибаемый стержень с защемленным концом  и шарнирно опертым концом .

Деформированное состояние определяется углом поворота сечения  и перемещениями  концов стержня по нормали к его оси.                                            

             ,             (13)

                                                          

       .                      

                                                               

Для элементов сплошного сечения

                        .

Для элементов сквозного сечения                                                 

                          .

Коэффициенты  и  учитывают влияние деформации сдвига. Если деформация сдвига не учитывается .

Матрица  преобразований перемещений в деформации

                            .                            (14)

                                        .

Матрицы  ,, равны:

                      ,      

                        ,   

                        ,                          

                 .        

                                                         

                          ,

                  ,                                    

                      ,,                                                                                                                     

               ,,                                        

                                    ,

                           ,

                        ,

                   ,   ,

                   ,   ,

                                       ,

                               .         для элементов первого типа.

Для элементов второго типа:

          ,,

              ,

                      , ,                                   

       ,,                                               ,,

                               ,

                                  ,

           .

Для растянутых (сжатых) элементов третьего типа

                                        ,                                  

                           .

Положительное направление усилий и перемещений соответствует удлинению стержня.

Для изгибаемых элементов третьего типа       

     ,                                         

                            .

Положительное направление  соответствует  повороту стержня по часовой стрелке.

Для скручиваемых элементов третьего типа

                       ,  .

Положительным  соответствует поворот сечения относительно оси  по ходу часовой стрелки, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали.

Для элементов четвертого типа

                          .

Концевые усилия образуют векторы: 

        – элементы первого типа,

        – элементы второго типа,

       , . - элементы третьего типа.

В заданной системе указанные векторы равны

                                                            (15)

от статических возмущений;

                               (16)

от динамических возмущений, изменяющихся во времени по произвольному закону;

                                   (17)

амплитудные значения усилий в консервативных системах от гармонических возмущений;         

 

                                                                                                      (18)

в диссипативных системах в случае установившихся гармонических колебаний.

Стесненное кручение.

В состоянии стесненного кручения элемент основной системы относится к элементам первого типа. Его концевые сечения не могут вращаться и не могут депланировать.

                                                

                     ,                                   

                 ,                                         

                    ,                                                    

                              .

главный секториальный момент инерции поперечного сечения, ,    - крутильная жесткость.  Для стержней открытого профиля  = 1, для стержней закрытого профиля,,