В.И. Роев. Расчет статически и динамически нагруженных систем с использованием программного комплекса DINAM, страница 7

 – интенсивность распределенной массы.

       Распределенная нагрузка заменяется узловой. Эквивалентная узловая нагрузка определяется из условия равенства возмож

ных работ узловых сил и заданной распределенной нагрузки.

 В случае равномерно распределенной нагрузки узловые сосредоточенные силы  для прямоугольного элемента равны произведению примыкающей к узлу площади на интенсивность нагрузки.

 Для треугольного элемента они равны                                    

           ,

                                  .

Зависимость между изгибающими моментами и деформациями:

                                   .               (24)

Изгибающие моменты являются линейными функциями координат и определяются в узловых точках. Крутящие моменты изменяются нелинейно и определяются в центре прямоугольного элемента и в точке  треугольного элемента.

Вектор усилий равен

(25)   

для прямоугольного элемента  и     

                 ( (26)

для треугольного элемента.

Первый индекс – номер узла, второй – ось, относительно которой действует момент. Знак плюс у изгибающих моментов показывает, что растянуты нижние волокна .

Вектор усилий, в случае узловой нагрузки и узловых сил инерции, определяется матричным произведением

                                       .                                      (27)

 – матрица распределенных усилий от единичных смещений узлов. Для прямоугольного элемента она определяется матрицей                                 

     .  (28)

Для треугольника матрица  равна матрице                        

   .(29)

Векторы  () – векторы девятого порядка для прямоугольника и седьмого порядка для треугольника Их компоненты зависят от жесткостных характеристик и размеров элемента.

Компоненты  того  столбца матрицы  записываются в последовательности: , , , , , , , , , , ,  для прямоугольника и в последовательности: , , , ,, , , , ,  для треугольного элемента.

Найденные усилия относятся к отдельным элементам. Они, как правило, имеют разные значения для элементов, примыкающих к одному и тому же узлу. Чтобы вычислить действитель

ный момент в узловой точке, нужно взять среднее значение от узловых моментов примыкающих к узлу элементов. Если элементы одинаковы, то сумма соответствующих моментов делится на число элементов, сходящихся в узле. Если же элементы имеют разную толщину и размеры, то действительный момент в точке определяется как сумма соответствующих моментов, умноженных на свои коэффициенты влияния, вычисляемые по формуле

                                  .                       (30)

 – жесткость ‑того элемента узле , соответствующая его единичному повороту относительно оси .

Матрица преобразований  от глобальной системы координат к локальной определяется произведением

                                        ,                           (31)   

в котором  – матрица перемещений ‑того узла ‑того элемента в глобальной системе координат, а

                                   .

 – угол между глобальными и локальными осями. Он отсчитывается против хода часовой стрелки, если смотреть из начала глобальной системы координат.

Допустим, что в глобальной системе координат перемещения ‑того узла образуют матрицу

                           ,  .

Тогда

                 .

Если  ,то                                           

                        .

В заключение следует отметить: рассмотренная аппроксимация прогибов дает достаточно точные результаты, хотя и допускает разрыв деформаций в углах поворота между смежными элементами. Решение получается приближенным. Степень приближения зависит от числа и вида элементов, на которые разбит конструктивный элемент, а также от градиента заданных возмущений.

1.4. Плоская задача теории упругости

Заданная система разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники (рис. 4 ,рис. 5).

Каждый узел имеет три степени свободы: два линейных и одно угловое перемещение. Прямоугольная матрица  определяется матричным произведением: 

             ,           (32)

 

для треугольника и