В.И. Роев. Расчет статически и динамически нагруженных систем с использованием программного комплекса DINAM, страница 3

Задача определения напряженно-деформированного состояния стержневых систем решается точно. Напряженно-деформированные состояния систем из двумерных элементов определяется приближенно.

  1. Основные теоретические положения

         1.1.  Основные неизвестные. Система канонических       

                                               уравнений

За основные неизвестные принимаются угловые и линейные перемещения узлов. Вектор  основных неизвестных в статических расчетах определяется из уравнения

                                      .                           (1)

В динамических расчетах консервативных систем для определения  составляется и решается уравнение

                    .    (2)

Основные неизвестные диссипативных систем определяются из уравнения

                   .   (3)

 – матрица жесткостей основной системы – матрица реакций веденных связей от их единичных смещений. Её компоненты зависят от жесткостей элементов заданной системы                 

                                .

 – матрица эквивалентных масс– матрица реакций введенных связей от их смещений с единичными ускорениями . Ее компоненты зависят от масс элементов системы

                                       .

 – матрица реакций введенных связей от их смещений с единичными скоростями. Ее компоненты функции коэффициентов внутреннего трения и демпфирования                                                                                                                 

                                     .

 – матрица реакций введенных связей от их смещений с единичными ускорениями. Ее компоненты зависят от моментов инерции масс элементов системы                                      

                              .

 – матрица реакций введенных связей от их единичных смещений. Ее компоненты – функции продольных сил

                                        .

 – прямоугольная матрица реакций введенных связей от единичных значений заданных возмущений

                                        .

 – матрица концевых усилий в элементах основной системы от единичных значений заданных возмущений.

 – векторы заданных возмущений.

 – прямоугольная матрица перемещений концевых сечений (узлов) j‑того элемента в локальной системе координат от единичных смещений связей, введенных при выборе основной системы. Число ее столбцов равно числу связей, введенных при выборе основной системы; число строк зависит от типа элемента.

,  – матрицы жесткостей j-того элемента основной системы от  единичных смещений его концевых сечений (узлов),

 – от смещений узлов с единичными ускорениями,  

 – от смещений узлов с единичными скоростями.

                                           ,

                                           ,

                                                                    

                                      .

w – матрица преобразований перемещений в деформации,

v – матрица перемещений, C – матрица жесткостей,  – интенсивность массы,  интенсивность момента инерции массы,  – продольная сила. В дальнейшем продольные силы  считаются заданными.

Компоненты  матрицы  принимаются равными                                    

                         

 – коэффициент внутреннего трения,

,  – компоненты матриц  соответственно.

Для элементов четвертого типа                                                                                 

                                          ,

 – коэффициент демпфирования.

Общие решения уравнений (2), (3) находятся обычным порядком.  Для отыскания частных решений время действия заданных возмущений разбивается на интервалы длиной  так, чтобы функции  – компоненты вектора  на протяжении интервала не имели ни переломов, ни перегибов, ни скачков. Вектор  на  –  том интервале аппроксимируется матричным произведением

                                     ,                                (4)