Дифференциальные уравнения. Элементы теории устойчивости: Конспект лекций (Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений), страница 7

ПРИМЕРЫ. а)  – линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами;

б)  – линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;

в)  – нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

           ,                            (10.11)

.

Уравнение

                                          (10.12)

называется однородным дифференциальным уравнением, соответствующим линейному неоднородному уравнению (10.11). Это уравнение имеет решение , которое называется нулевым или тривиальным.

ТЕОРЕМА 1 (о  линейной   комбинации   решений  линейного    однородного дифференциального уравнения). Пусть  – два решения линейного однородного дифференциального уравнения (10.12). Тогда для любых постоянных  линейная комбинация  также является решением (10.12).

Доказать самостоятельно.

ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение . Легко проверить непосредственной  подстановкой, что функции  – его решения.

По теореме 1 при любых  функция

– решение этого дифференциального уравнения.

Функция   тоже  является      решением. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два решения однородного дифференциального уравнения (10.12) называются линейно независимыми, если их отношение постоянно. В противном случае эти решения называются линейно независимыми.

ПРИМЕР. Для решений уравнения из предыдущего примера имеем:

 – линейно зависимы;

 – линейно независимы;

 – линейно независимы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем Вронского  функций называется функциональный определитель вида

.

Для  двух функций определитель Вронского имеет вид .

ПРИМЕР. Для рассмотренных выше решений

;    .

ТЕОРЕМА 2 (о необходимом и достаточном условии линейной зависимости решений линейного однородного дифференциального уравнения). Пусть  непрерывны, а  . Тогда для того, чтобы решения  дифференциального уравнения (10.12) были линейно зависимы на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского  был равен нулю хотя бы для одного значения .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Необходимость: решения  линейно зависимы   хотя бы при одном значении .

По определению линейной зависимости двух решений    .

2. Достаточность: решения  дифференциального уравнения (10.12) линейно зависимы.

Так как (10.12) – линейное однородное дифференциальное уравнение, то оно имеет нулевое решение , для которого .

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений        

       .                                        (10.13)

Ее основной определитель  по условию, поэтому она имеет бесконечное множество решений (см.гл.1). Пусть  – некоторое нетривиальное решение (10.13). Тогда функция  по теореме 1 – решение (10.12), причем вследствие (10.13)  .

Таким образом, одним и тем же начальным условиям удовлетворяют два решения уравнения (10.12), что противоречит теореме Коши. Следовательно, , то есть решения  линейно зависимы.   

Что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для линейной зависимости  решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского был равен нулю хотя бы в одной точке.

ТЕОРЕМА 3 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка). Пусть  непрерывны ,  и  – произвольные линейно независимые решения дифференциального уравнения (10.12). Тогда общее решение этого уравнения имеет вид:

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1  – решение (10.12)  . Покажем, что оно общее.

Зададим произвольные начальные условия , удовлетворяющие условиям теоремы Коши. Тогда для определения постоянных  получим систему линейных алгебраических уравнений

основной определитель которой  по теореме 2. 

Значит, система имеет единственное решение , а функция   – решение дифференциального уравнения (10.12), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Таким образом,  по определению – общее решение дифференциального уравнения (10.12).

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР. Ранее были найдены линейно независимые решения дифференциального уравнения . Теперь можно записать общее решение этого уравнения: