Дифференциальные уравнения. Элементы теории устойчивости: Конспект лекций (Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений), страница 17

12.1. Понятие устойчивости по Ляпунову

Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений:

  .                              (12.1)

Пусть  – решение системы (12.1), соответствующее начальным условиям , или .

Кроме того,  – решение системы (12.1), соответствующее измененным начальным условиям , или .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение системы (12.1)  называется устойчивым по Ляпунову, если для любого  существует   такое, что из совокупности неравенств  следуют неравенства .

Из определения следует, что если  – устойчивое решение, то всякое решение, достаточно близкое к нему в начальный момент , остается близким к нему с ростом .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение системы (12.1)  называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если существует  такое, что из совокупности неравенств   следует, что 

.

Из определения следует, что всякое решение, достаточно близкое к  в начальный момент , неограниченно сближается с ним с       ростом .

ПРИМЕР. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка  , где  – параметр. Очевидно, что это уравнение имеет тривиальное решение , удовлетворяющее при любом  начальному условию   

Исследуем на устойчивость это решение. Для этого зададим другое начальное условие  и найдем решение, которое ему удовлетворяет.

 – общее решение уравнения.

 – искомое частное решение.

Отсюда   .

1)  Пусть , поэтому каким бы близким к нулю ни было значение ,  неограниченно возрастает, то есть найденное решение неограниченно удаляется от решения  . А это по определению означает, что при  нулевое решение свойством устойчивости не обладает, или является неустойчивым (рис.5).

2)  Пусть  при всех , значит . Зададим . Тогда при  получим, что если , то    . Определение устойчивости выполнено, поэтому при  нулевое решение устойчиво по Ляпунову (рис.6, 7).

Заметим, что если , то , то есть в этом случае нулевое решение асимптотически устойчиво (рис.7).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение системы (12.1)  называется асимптотически устойчивым в целом, если где  решение, определяемое любыми начальными условиями, а не только значениями, близкими к начальным значениям ,.

Как было показано выше, при  нулевое решение д.у.  асимптотически устойчиво в целом.

Рассмотрим  систему уравнений (12.1). Каждому решению (12.1) соответствует интегральная кривая , или траектория. Если эта система имеет не зависящее от  решение , то соответствующая траектория будет точкой. Она называется точкой покоя системы (12.1), или ее положением равновесия. В частности, тривиальное решение  называется точкой покоя этой системы, расположенной в начале координат  (она существует, лишь если ).

Сформулируем определение устойчивой точки покоя, расположенной в начале координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тривиальное решение системы (12.1) называется устойчивым по Ляпунову, если  для любого существует    такое, что из совокупности неравенств  следуют неравенства .

Такому определению можно дать другую, эквивалентную формулировку.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка покоя, расположенная в начале координат, называется устойчивой по Ляпунову, если для любого существует такое, что из неравенства  следует, что 

.

Геометрически это означает, что если тривиальное решение устойчиво, то всякая траектория, определяемая начальной точкой  и начинающаяся внутри круга (сферы) радиуса , не покидает при  круга (сферы) радиуса  (рис. 8) c центром в начале координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тривиальное решение системы (12.1) называется асимптотически устойчивым, если существует    такое, что из совокупности неравенств    следует, что  , или, другими словами, если из неравенства    следует, что

.