Дифференциальные уравнения. Элементы теории устойчивости: Конспект лекций (Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений), страница 14

Заметим, что , то есть найденное решение непрерывно в точке , где правая часть уравнения имеет разрыв первого рода. Легко убедиться в непрерывности и производной  при . График решения представлен на рис. 4.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для линейных дифференциальных уравнений -го порядка нормальная система фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле определяется аналогично (10.31):

При этом для нахождения частного решения используется последняя из этих функций:    

.

Глава 11. СИСТЕМЫ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ

11.1. Основные определения

Любое дифференциальное уравнение -го порядка можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка, вводя новые переменные.

ПРИМЕР. Рассмотрим  дифференциальное уравнение  

.

Пусть , , тогда уравнение равносильно системе трех дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций :

Уравнение 2-го порядка  можно свести к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка

                        (11.1)

где  – вектор-столбец неизвестных,  – вектор-столбец правых частей.

Система дифференциальных уравнений вида (11.1) называется нормальной: производные 1-го порядка стоят  только  в левых частях уравнений, правые   части  производных не содержат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Порядком системы дифференциальных уравнений называется сумма порядков уравнений, входящих в систему.

Система дифференциальных уравнений (11.1) – система -го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением системы (11.1) называется  совокупность    функций , подстановка которых в систему обращает каждое ее уравнение в тождество.

Если полагать, что  – координаты движущейся точки, то решение системы  – закон ее движения, а кривая, заданная параметрически  – траектория движения. Эту кривую также называют интегральной кривой системы (11.1).

Производная  характеризует скорость движения. Если в системе (11.1) правая часть не зависит от , то есть , то скорость не меняется с течением времени. Такое движение называется установившимся, а система – автономной  или стационарной.

ТЕОРЕМА Коши. Пусть  функции      и  их  производные       непрерывны в некоторой области  изменения переменных . Тогда для любой точки  существует, причем единственное, решение системы (11.1), удовлетворяющее начальному условию

, или  

Без доказательства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нормальная система дифференциальных уравнений      называется линейной, если неизвестные функции  и их производные входят в нее линейно.

Такая система имеет вид:

или в матричной форме

                             ,                                                (11.2)

где                      .

Линейная система вида

                                                                                      (11.3)

называется однородной. Система (11.2), если ее правая часть , неоднородная.

ТЕОРЕМА (о линейной комбинации решений линейной однородной системы).

Пусть  и  – два решения линейной однородной системы (11.3). Тогда для любых постоянных  и  вектор-функция  – также решение системы (11.3).

Доказать самостоятельно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если  ( – мнимая единица) – решение системы (11.3), то  и  – также решения системы (11.3).

Действительно, так как  – решение системы (11.3), то

.

Отсюда по определению равенства комплексных чисел получаем:  и .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решения , …,  однородной системы (11.3) называются линейно независимыми, если определитель Вронского

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор-функция  называется общим решением системы (11.1), если

1)  при любых значениях постоянных  функция  – решение (11.1);

2)  какое бы начальное условие , удовлетворяющее условиям теоремы Коши, ни было задано, найдется единственный набор постоянных , такой что  – решение, удовлетворяющее этому начальному условию.