– по свойствам 7, 8 определителей (см. гл.1). Следовательно, – одно из частных решений системы (11.5).
Таким образом, чтобы найти частное решение системы (11.5), можно найти алгебраические дополнения к элементам любой, например, первой строки ее основной матрицы.
б) . Подставим это значение в (11.5):
.
Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы системы:
Отсюда .
в)
.
Таким образом, общее решение данной системы дифференциальных уравнений имеет вид: , или .
ЗАМЕЧАНИЕ. При решении характеристического уравнения можно пользоваться формулой:
, где – сумма главных диагональных миноров, .
2) Характеристическое уравнение (11.6) имеет простые комплексные корни.
ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:
.
Составим характеристическое уравнение :
– собственные значения матрицы .
Так как найденные собственные значения комплексные, то решение данной системы также будет комплексным. Однако ранее было доказано, что и действительная часть , и мнимая часть комплексного решения также являются решениями линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Поэтому для того, чтобы получить в таком случае пару действительных линейно независимых решений, найдем решение , соответствующее одному из собственных значений, и примем .
Итак,
– комплексное решение, соответствующее собственному значению .
По формуле Эйлера
Общее решение имеет вид: .
3) Характеристическое уравнение (11.6) имеет кратные действительные корни.
ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:
.
Составим характеристическое уравнение :
– собственные значения матрицы .
Найдем собственный вектор, соответствующий :
– первое частное решение системы.
Так как второго собственного вектора, отличного от найденного , матрица не имеет, будем искать в таком виде: .
Подставим эти функции в исходную систему дифференциальных уравнений:
.
Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим:
. (11.7)
Нетрудно убедиться, что ранг основной матрицы полученной системы линейных уравнений равен 2, а так как число неизвестных 4, то система имеет две свободные переменные и два линейно независимых решения (см. гл.1). Пусть . Полагая , получим, что .
Итак, второе частное решение исходной системы дифференциальных уравнений имеет вид , а общее решение – .
Замечание. Если в (11.7) задать , то получим уже найденное решение . Поэтому в случае кратных собственных значений для системы дифференциальных уравнений второго порядка можно, не находя , сразу искать решения в виде . Найдя два линейно независимых решения системы уравнений, аналогичной (11.7), получим и .
Однако, если система линейных однородных дифференциальных уравнений имеет порядок, больший двух, кратным собственным значениям кратности могут соответствовать линейно независимых собственных векторов.
ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:
.
Составим и решим характеристическое уравнение:
.
Очевидно, что – корень этого уравнения. Разделив на , получим: . Откуда .
а) . Так как ранг матрицы полученной системы равен 1, то она имеет две свободные переменные и два линейно независимых решения (см.гл.1), а потому существует два линейно независимых собственных вектора для собственного значения :
.
б) .
Так как все собственные векторы, соответствующие одному собственному значению, отличаются на постоянный множитель, то примем .
Отсюда и общее решение этой системы дифференциальных уравнений имеет вид: .
Таким образом, можно сделать следующий вывод: если собственному значению кратности соответствует только линейно независимых собственных векторов и, соответственно, решений системы дифференциальных уравнений, то недостающие решений следует искать в виде векторного многочлена степени , умноженного на :
.
Чтобы найти векторы , надо это решение подставить в исходную систему.
Глава 12. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.