Дифференциальные уравнения. Элементы теории устойчивости: Конспект лекций (Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений), страница 16

– по свойствам 7, 8 определителей (см. гл.1). Следовательно,     – одно из частных решений системы (11.5).

Таким образом, чтобы найти частное решение  системы (11.5), можно найти алгебраические дополнения к элементам любой, например, первой строки ее основной матрицы.

б) . Подставим это значение в (11.5): 

.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы системы:  

Отсюда .

в)

.

Таким образом, общее решение данной системы дифференциальных уравнений  имеет вид: , или   .

ЗАМЕЧАНИЕ. При решении характеристического уравнения можно пользоваться формулой: 

, где   – сумма главных диагональных миноров,  .

2) Характеристическое уравнение (11.6) имеет простые комплексные корни.

ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:

.

Составим характеристическое уравнение :

 – собственные значения матрицы .

Так как найденные собственные значения  комплексные, то решение данной системы также будет комплексным. Однако ранее было доказано, что и действительная часть , и мнимая часть  комплексного решения   также являются решениями линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Поэтому для того, чтобы получить в таком случае пару действительных линейно независимых решений, найдем решение , соответствующее одному из собственных значений, и примем .

Итак,

 – комплексное решение, соответствующее собственному значению  .

По формуле Эйлера

Общее решение имеет вид:  .

3) Характеристическое уравнение (11.6) имеет кратные действительные корни.

ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:

.

Составим характеристическое уравнение :

 – собственные значения матрицы .

Найдем собственный вектор, соответствующий :

 – первое частное решение системы.

Так как второго собственного вектора, отличного от найденного , матрица  не имеет, будем искать  в таком виде: .

Подставим эти функции в исходную систему дифференциальных уравнений:

.

Сокращая на  и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,  получим:

     .               (11.7)

Нетрудно убедиться, что ранг основной матрицы полученной системы линейных уравнений  равен 2, а так как число неизвестных 4, то система имеет две свободные переменные и два линейно независимых решения (см. гл.1). Пусть . Полагая , получим, что .

Итак, второе частное решение исходной системы дифференциальных уравнений имеет вид  , а общее решение – .

Замечание. Если в (11.7) задать , то получим уже найденное решение . Поэтому в случае кратных собственных значений для системы дифференциальных уравнений второго порядка можно, не находя , сразу искать решения в виде  . Найдя два линейно независимых решения системы  уравнений, аналогичной (11.7), получим  и .

Однако, если система линейных  однородных дифференциальных уравнений имеет порядок, больший двух, кратным собственным значениям кратности  могут соответствовать  линейно независимых собственных векторов.

ПРИМЕР.  Решить систему дифференциальных уравнений:

.

Составим и решим характеристическое уравнение:

.

Очевидно, что  – корень этого уравнения. Разделив  на , получим: . Откуда .

а) . Так как ранг матрицы полученной системы равен 1, то она имеет две свободные переменные и два линейно независимых решения (см.гл.1), а потому существует два линейно независимых собственных вектора для собственного значения :

.

б) .

Так как все собственные векторы, соответствующие одному собственному значению, отличаются на постоянный множитель, то примем .

Отсюда    и общее решение этой системы дифференциальных    уравнений имеет вид:       .

Таким образом, можно сделать следующий вывод: если собственному значению  кратности  соответствует только  линейно независимых собственных векторов  и, соответственно,  решений системы дифференциальных уравнений, то недостающие  решений следует искать в виде векторного многочлена степени , умноженного на :

.

Чтобы найти векторы , надо это  решение подставить в исходную систему.

Глава 12. УСТОЙЧИВОСТЬ  РЕШЕНИЙ 

СИСТЕМ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ