Дифференциальные уравнения. Элементы теории устойчивости: Конспект лекций (Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений), страница 15

ТЕОРЕМА (о структуре общего решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений). Пусть  – линейно независимые решения системы (11.3) с непрерывными коэффициентами     Тогда ее общее решение имеет вид: , где  – произвольные постоянные.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме о линейной комбинации решений  вектор-функция    является решением системы (11.3).

Зададим начальное условие, удовлетворяющее условиям теоремы Коши

 – система линейных уравнений, основной определитель которой , так по условию решения  линейно независимы. Значит, система имеет единственное решение , а  – решение (11.3), удовлетворяющее поставленному начальному условию.

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА (о структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений).  Пусть  – некоторое частное решение линейной  неоднородной  системы  дифференциальных уравнений (11.2), а        – общее решение соответствующей однородной системы (11.3). Тогда общее решение системы (11.2) имеет вид: .

Доказать самостоятельно.

11.2. Решение систем линейных однородных  дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:           

                      (11.4)

где .

Будем искать решение (11.4) в виде   ,  или  ,  где  – некоторый постоянный вектор. Очевидно,  ,  поэтому после подстановки  в (11.4) получим:

, где  – единичная матрица -го порядка. Запишем последнее равенство в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных :

                                          (11.5)

Как известно (см.гл.1), однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть

          .                (11.6)

Уравнение  (11.6)  называется  характеристическим  уравнением  матрицы . Оно является уравнением -ой степени относительно   и потому имеет ровно  корней – действительных или комплексных.

Корни характеристического уравнения (11.6) называются собственными значениями матрицы .

Решим (11.6) и найдем все собственные значения матрицы  А.

Подставляя каждое из них в (11.5), будем получать систему линейных однородных уравнений с нулевым определителем. Любое нетривиальное решение этой системы    называется собственным вектором матрицы  ,    соответствующим собственному значению .

Можно показать, что если уравнение (11.6) не имеет кратных корней, то существует  линейно независимых собственных векторов , то есть таких векторов, ни один из которых не выражается через другие с помощью линейной комбинации.

Найдя для каждого собственного значения матрицы  собственный вектор, получим  линейно независимых решений системы (11.4): . Тогда по теореме о структуре общего решения линейной однородной системы общее решение запишется в виде .

Решение системы (11.4) зависит от характера корней характеристического уравнения (11.6): они могут быть действительными или комплексными,  простыми или кратными.

Рассмотрим на примерах всевозможные случаи.

1) Все корни (11.6) действительны и различны.

ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:

.

Составим характеристическое уравнение (11.6)  :

 – собственные значения матрицы .

Найдем собственные векторы.

а)  . Подставим это значение в (11.5): 

 – векторная запись системы (11.5), или  – система трех линейных уравнений с определителем . Заметим, что ранг основной матрицы этой системы равен 2, поэтому система имеет одну свободную переменную. Выберем любые два уравнения, зададим одну из переменных произвольно (например, ) и  найдем  частное            решение:         .

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как основной определитель  системы (11.5) равен нулю, то алгебраические дополнения элементов любой ее строки являются частными решениями:  (напомним, что ,  где   – дополнительный минор). Действительно, полагая, например, , получим: