ТЕОРЕМА (о структуре общего решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений). Пусть – линейно независимые решения системы (11.3) с непрерывными коэффициентами Тогда ее общее решение имеет вид: , где – произвольные постоянные.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме о линейной комбинации решений вектор-функция является решением системы (11.3).
Зададим начальное условие, удовлетворяющее условиям теоремы Коши
– система линейных уравнений, основной определитель которой , так по условию решения линейно независимы. Значит, система имеет единственное решение , а – решение (11.3), удовлетворяющее поставленному начальному условию.
Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА (о структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений). Пусть – некоторое частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений (11.2), а – общее решение соответствующей однородной системы (11.3). Тогда общее решение системы (11.2) имеет вид: .
Доказать самостоятельно.
11.2. Решение систем линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
(11.4)
где .
Будем искать решение (11.4) в виде , или , где – некоторый постоянный вектор. Очевидно, , поэтому после подстановки в (11.4) получим:
, где – единичная матрица -го порядка. Запишем последнее равенство в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных :
(11.5)
Как известно (см.гл.1), однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть
. (11.6)
Уравнение (11.6) называется характеристическим уравнением матрицы . Оно является уравнением -ой степени относительно и потому имеет ровно корней – действительных или комплексных.
Корни характеристического уравнения (11.6) называются собственными значениями матрицы .
Решим (11.6) и найдем все собственные значения матрицы А.
Подставляя каждое из них в (11.5), будем получать систему линейных однородных уравнений с нулевым определителем. Любое нетривиальное решение этой системы называется собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .
Можно показать, что если уравнение (11.6) не имеет кратных корней, то существует линейно независимых собственных векторов , то есть таких векторов, ни один из которых не выражается через другие с помощью линейной комбинации.
Найдя для каждого собственного значения матрицы собственный вектор, получим линейно независимых решений системы (11.4): . Тогда по теореме о структуре общего решения линейной однородной системы общее решение запишется в виде .
Решение системы (11.4) зависит от характера корней характеристического уравнения (11.6): они могут быть действительными или комплексными, простыми или кратными.
Рассмотрим на примерах всевозможные случаи.
1) Все корни (11.6) действительны и различны.
ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:
.
Составим характеристическое уравнение (11.6) :
– собственные значения матрицы .
Найдем собственные векторы.
а) . Подставим это значение в (11.5):
– векторная запись системы (11.5), или – система трех линейных уравнений с определителем . Заметим, что ранг основной матрицы этой системы равен 2, поэтому система имеет одну свободную переменную. Выберем любые два уравнения, зададим одну из переменных произвольно (например, ) и найдем частное решение: .
ЗАМЕЧАНИЕ. Так как основной определитель системы (11.5) равен нулю, то алгебраические дополнения элементов любой ее строки являются частными решениями: (напомним, что , где – дополнительный минор). Действительно, полагая, например, , получим:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.