Дифференциальные уравнения. Элементы теории устойчивости: Конспект лекций (Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений), страница 4

Заметим, что из равенства  следует, что температура тела изменяется по закону , или  – эта функция является решением задачи Коши, поставленной в рассмотренном примере.

10.2.2. ОДНОРОДНЫЕ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду       

                                        .                                                (10.5)

ПРИМЕРЫ. а)  – однородное дифференциальное уравнение первого порядка (это уравнение также является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными);

б)  – не является однородным, так как не может быть приведено к виду (10.5);

в) . Чтобы убедиться в том, что это однородное дифференциальное уравнение, разделим обе его части на :

  .

Теперь стало очевидным, что данное уравнение приводится к виду (10.5), то есть является однородным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен -ой степени относительно двух переменных  называется однородным многочленом, если сумма показателей степеней во всех его одночленах одинакова и равна .

ПРИМЕРЫ. а)  – однородный многочлен первой степени;

б)  – однородный многочлен третьей степени;

в)  – однородные многочлены второй степени;

г)  – не является однородным многочленом.

Уравнения вида , или , где

 – однородные многочлены -ой степени, являются однородными дифференциальными  уравнениями первого порядка.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка сводится к уравнению с разделяющимися переменными в результате замены переменной по формуле: . Действительно, так как , то , поэтому после выполнения подстановки уравнение (10.5) примет вид , а дифференциальное уравнение  является уравнением с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши  .

Данное дифференциальное уравнение является однородным, поэтому сделаем замену переменной . Тогда имеем:  – уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

.

Возвращаясь к «старым» переменным, получим общий интеграл .

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию :

 – искомое частное решение.

Заметим, что если задать начальное условие , то соответствующее частное решение будет иметь вид  .

10.2.3. ЛИНЕЙНЫЕ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО  ПОРЯДКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если неизвестная функция и ее производная входят в него линейно, то есть в первой степени. Такое уравнение имеет вид

.                                             (10.6)

Если , то дифференциальное уравнение  называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка (оно является также дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными). Если , то уравнение называется линейным неоднородным.

ПРИМЕРЫ.

а)  – линейное  неоднородное дифференциальное уравнение;

б)  – не является линейным;

в) . Разделив обе части этого дифференциального уравнения на , получим    

 – линейное дифференциальное уравнение;

г)  – не является линейным.

Одним из методов решения уравнений вида (10.6) является метод подстановки. Идея метода состоит в том, что любая функция может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых произвольная. Например,  и т.д.

Будем искать решение дифференциального уравнения (10.6) в виде произведения двух функций: .  Найдем  и подставим в уравнение:

.

Так как первый сомножитель в произведении  можно выбрать произвольно, потребуем, чтобы функция  обращала в ноль первое слагаемое в последнем равенстве: . Тогда для нахождения функций  и  получим систему дифференциальных уравнений:

  .                                         (10.7)

Так как функция  выбирается в известном смысле произвольно, то она является каким-либо частным решением  первого уравнения системы (10.7). Заметим, что оно является линейным однородным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Решив первое уравнение, подставим найденную функцию  во второе дифференциальное уравнение и найдем , как общее решение этого уравнения. 

ПРИМЕР. Решить задачу Коши .

Пусть .

Отсюда