Заметим, что из равенства следует, что температура тела изменяется по закону , или – эта функция является решением задачи Коши, поставленной в рассмотренном примере.
10.2.2. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду
. (10.5)
ПРИМЕРЫ. а) – однородное дифференциальное уравнение первого порядка (это уравнение также является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными);
б) – не является однородным, так как не может быть приведено к виду (10.5);
в) . Чтобы убедиться в том, что это однородное дифференциальное уравнение, разделим обе его части на :
.
Теперь стало очевидным, что данное уравнение приводится к виду (10.5), то есть является однородным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен -ой степени относительно двух переменных называется однородным многочленом, если сумма показателей степеней во всех его одночленах одинакова и равна .
ПРИМЕРЫ. а) – однородный многочлен первой степени;
б) – однородный многочлен третьей степени;
в) – однородные многочлены второй степени;
г) – не является однородным многочленом.
Уравнения вида , или , где
– однородные многочлены -ой степени, являются однородными дифференциальными уравнениями первого порядка.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка сводится к уравнению с разделяющимися переменными в результате замены переменной по формуле: . Действительно, так как , то , поэтому после выполнения подстановки уравнение (10.5) примет вид , а дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
ПРИМЕР. Решить задачу Коши .
Данное дифференциальное уравнение является однородным, поэтому сделаем замену переменной . Тогда имеем: – уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
.
Возвращаясь к «старым» переменным, получим общий интеграл .
Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию :
– искомое частное решение.
Заметим, что если задать начальное условие , то соответствующее частное решение будет иметь вид .
10.2.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если неизвестная функция и ее производная входят в него линейно, то есть в первой степени. Такое уравнение имеет вид
. (10.6)
Если , то дифференциальное уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка (оно является также дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными). Если , то уравнение называется линейным неоднородным.
ПРИМЕРЫ.
а) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение;
б) – не является линейным;
в) . Разделив обе части этого дифференциального уравнения на , получим
– линейное дифференциальное уравнение;
г) – не является линейным.
Одним из методов решения уравнений вида (10.6) является метод подстановки. Идея метода состоит в том, что любая функция может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых произвольная. Например, и т.д.
Будем искать решение дифференциального уравнения (10.6) в виде произведения двух функций: . Найдем и подставим в уравнение:
.
Так как первый сомножитель в произведении можно выбрать произвольно, потребуем, чтобы функция обращала в ноль первое слагаемое в последнем равенстве: . Тогда для нахождения функций и получим систему дифференциальных уравнений:
. (10.7)
Так как функция выбирается в известном смысле произвольно, то она является каким-либо частным решением первого уравнения системы (10.7). Заметим, что оно является линейным однородным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Решив первое уравнение, подставим найденную функцию во второе дифференциальное уравнение и найдем , как общее решение этого уравнения.
ПРИМЕР. Решить задачу Коши .
Пусть .
Отсюда
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.