Математика \ Математика

Дифференциальные уравнения. Элементы теории устойчивости: Конспект лекций (Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений), страница 5

Заметим, что функция не является решением дифференциального уравнения , поэтому при разделении переменных в первом из уравнений системы обоснованно полагалось, что .

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

Найдем теперь решение задачи Коши:

– искомое частное решение.

10.2.4. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли, если может быть приведено к виду

, (10.8)

При уравнение (10.8) является линейным, а при – уравнением с разделяющимися переменными.

ПРИМЕРЫ. а) – уравнение Бернулли (). Это уравнение, кроме того, является однородным дифференциальным уравнением первого порядка;

б) – уравнение Бернулли ();

в) – уравнение Бернулли ().

Уравнения вида (10.8) могут быть решены так же, как и линейные, методом подстановки: будем искать решение в виде . Подставим эту функцию в уравнение: . Тогда функции найдутся как решение системы дифференциальных уравнений

Сначала решим первое уравнение этой системы, причем – его частное решение. Подставив во второе уравнение, найдем как общее решение этого дифференциального уравнения.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Пусть .

Отсюда

Интегрируя, получаем , или . Заметим, что при разделении переменных в первом из этих уравнений было потеряно решение , а, значит, и решение исходного дифференциального уравнения.

Следовательно, общее решение имеет вид .

Отметим, что решение не содержится в решении ни при каком значении постоянной .

10.2.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть его является полным дифференциалом некоторой функции . Это имеет место, если .

ПРИМЕРЫ. а) – это уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Перепишем его таким образом:

. Тогда

Значит, это не только однородное дифференциальное уравнение, но и уравнение в полных дифференциалах.

б) . Так как для этого дифференциального уравнения , оно не является уравнением в полных дифференциалах, хотя, так же как и предыдущее, является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

По теореме о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (см.гл. 9) для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно выполнение равенства . Поэтому, если , то существует функция такая, что ее полный дифференциал . Но нулевым является полный дифференциал лишь постоянной функции, значит, если – решение уравнения , то .

Таким образом, для того чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию , после чего общий интеграл уравнения запишется в виде .

ПРИМЕР. Решить задачу Коши .

В данном уравнении , поэтому данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Так как условие выполнено, то существует функция такая, что .

По определению полного дифференциала .

Сравнив эти два выражения, получим систему дифференциальных уравнений для нахождения неизвестной функции : .

Рассмотрим первое уравнение системы . Частная производная по , как известно (см.гл.6), вычисляется при условии , поэтому чтобы найти из этого равенства , проинтегрируем его в том же предположении: