Математика \ Математика

Дифференциальные уравнения. Элементы теории устойчивости: Конспект лекций (Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений), страница 13

Заметим, что , где – транспонированная матрица Вронского для решений , вычисленная в точке . Поэтому нормальная система фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле может быть найдена из произвольной таким образом:

Если общее решение однородного дифференциального уравнения (10.30) составить из фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле, именно

, (10.32)

, то вследствие (10.31) такая форма представления решения будет обладать замечательным свойством:. Это означает, что произвольные постоянные равны значению функции и ее производной в точке .

Особо подчеркнем свойства последней фундаментальной функции : она является решением однородного дифференциального уравнения (10.30) и, кроме того, .

Частное решение неоднородного уравнения (10.29) может быть представлено в виде

. (10.33)

Покажем это, для чего подставим (10.33) в уравнение (10.29).

представляет собой интеграл с переменным верхним пределом, зависящий от параметра . Выведем формулу вычисления производной такого интеграла.

Рассмотрим функцию . По определению производной

вследствие свойства аддитивности определенного интеграла. Полагая функцию непрерывной, применим к последнему интегралу теорему о среднем значении (см. п.8.2):

, где находится между и .

Тогда

Отсюда имеем:

, так как не зависит от . Переходя к пределу при , получим, что

. (10.34)

Пользуясь формулой (10.34), найдем производные частного решения (10.33):

Заметим, что , а также .

Подставим и найденные производные в (10.29):

, так как – решение однородного дифференциального уравнения (10.30).

Итак, (10.33) – действительно, одно из частных решений уравнения (10.29), а потому общее решение этого дифференциального уравнения получаем в виде:

. (10.35)

Представление решения дифференциального уравнения (10.29) в виде (10.35) удобно по двум причинам:

1) произвольные постоянные имеют вполне определенный смысл, а потому решение задачи Коши можно найти сразу, не находя общего решения уравнения;

2) частное решение в виде (10.33) может быть найдено не только для непрерывной, но и для кусочно-непрерывной правой части.

Такой метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения (10.29) называется методом Коши, а решение (10.35) – решением в форме Коши.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши: .

1. Решим соответствующее данному однородное дифференциальное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет вид:

2. Проверим, является ли найденная ф.с.р. нормальной системой фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле (см.(10.31):

– значит, решение не подходит;

– значит, решение подходит.

Заметим, что так как по условию , в решении (10.35) функция не будет использоваться, а потому мы ее и не будем искать.

3. Выпишем решение задачи Коши (10.35) при

ПРИМЕР. Решить задачу Коши: , где (рис. 3).

1. Решим соответствующее данному однородное дифференциальное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет вид: .

2. Проверим, является ли найденная ф.с.р. нормальной системой фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле:

– не подходит; (10.36)

– подходит. (10.37)

3. Найдем нормальную систему фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле . Очевидно, , а будем искать в виде . Для определения неизвестных постоянных получаем систему линейных уравнений: