Дифференциальные уравнения. Элементы теории устойчивости: Конспект лекций (Системы дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений), страница 6

, (10.9)

которое называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

График какого-либо решения дифференциального уравнения (10.9) называется его интегральной кривой.

ТЕОРЕМА Коши (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения -го порядка). Пусть функция непрерывна вместе с в некоторой области изменения переменных . Тогда для любой точки существует, причем единственное решение дифференциального уравнения (10.9), удовлетворяющее начальным условиям

. (10.10)

Без доказательства.

Задачей Коши для дифференциального уравнения -го порядка называется задача отыскания его решения, удовлетворяющего начальным условиям (или условиям Коши) (10.10).

Для дифференциального уравнения второго порядка, например, задача Коши ставится таким образом: найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Геометрический смысл этой задачи состоит в следующем: требуется найти интегральную кривую данного дифференциального уравнения, которая проходит через точку и имеет в этой точке заданную касательную (касательную с угловым коэффициентом ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) при любых значениях постоянных из некоторого множества она является решением дифференциального уравнения;

2) для любых начальных условий , удовлетворяющих условиям теоремы Коши, существует единственный набор постоянных такой, что функция является решением, удовлетворяющим этим начальным условиям.

10.3.1.УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений старшего порядка, порядок которых можно понизить, сделав подходящую замену переменной.

1. Дифференциальные уравнения вида .

Чтобы решить уравнение такого вида, надо обе его части проинтегрировать последовательно раз.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

2. Дифференциальные уравнения вида .

Эти уравнения второго порядка, в которых явно не присутствует (или в общем виде .

Подстановка приводит данное уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка: . Решив это уравнение, найдем функцию , а затем .

ПРИМЕР. Найти решение дифференциального уравнения (10.2)

, которое удовлетворяет начальным условиям (см. пример на стр. 4 из п. 10.1).

Обозначим . Уравнение не содержит явно , поэтому сделаем подстановку , после которой получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

Из начального условия следует, что . Отсюда .

Чтобы выразить из этого равенства , умножим обе его части на сопряженное выражение: .

Сложим , откуда получим

и .

По условию

– искомое уравнение цепной линии.

3. Дифференциальное уравнение вида .

Это уравнение второго порядка, в котором явно не присутствует . Подстановка приводит данное уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка:

и – уравнение относительно новой переменной .

ПРИМЕР. Решим задачу о второй космической скорости: найти с какой наименьшей скоростью надо бросить тело вертикально вверх, чтобы оно не вернулось на Землю.

Пусть – расстояние от центра Земли до центра массы тела, тогда – скорость тела, а – ускорение. Согласно закону Ньютона , где – масса тела, – масса Земли, гравитационная постоянная.