Основы электростатики. Изучение электрического поля, страница 12

.

Работа по перемещению единичного  положительного заряда численно равна

Работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда  по конечному пути  равна

                                                    .                                                                (1.1.2)

Здесь  - сила Кулона, которая является центральной силой. Из механики известно, что поле центральных сил консервативно. Следовательно, работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, а определяется только начальной и конечными ее точками. Работа по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Тогда из (1.1.2) имеем:

                                                                                                          (1.1.3)

- циркуляция вектора  по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным.

       Докажем потенциальный характер электростатического поля.

       Рассмотрим сначала работу электрических сил в поле элементарного точечного заряда . Работа этих сил при бесконечно малом перемещении  пробного единичного положительного заряда равна:

,  

где  - проекция перемещения пробного заряда  на радиус-вектор , проведенный из возбуждающего поле заряда . Из рис.1.1.17 видно, что  - это приращение численного значения радиус-вектора , то есть увеличение расстояния пробного заряда  от заряда . Поэтому работа  может быть представлена как полный дифференциал скалярной функции точки :

,

где  - численное значение радиус-вектора . Тогда работа по перемещению единичного положительного заряда из точки  в точку  по конечному пути  равна:

,

где  и  - расстояния начальной и конечной точек пути от заряда . Таким образом, работа электрических сил на произвольном пути в поле неподвижного

элементарного точечного заряда действительно зависит от положений начальной и конечной  точек этого пути и не зависит от формы пути. На рис.1.1.18   работа на пути  равна работе на пути : избыточная работа, совершаемая на пути  при перемещении пробного заряда за пределы сферы радиуса , компенсируется отрицательной работой, совершаемой при последующем приближении пробного заряда к заряду  на последнем участке пути . Таким образом, поле неподвижного точечного заряда есть поле потенциальное.