Числовые матрицы и их преобразования. Операция сложения над матрицами. Тождества перемножения матриц

 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ   В ЭНЕРГЕТИКЕ

ПРАКТИКУМ

   для студентов специальности 1-43 01 02      «Электроэнергетические системы и сети»

Содержит краткие теоретические сведения, примеры решения задач и задания для самостоятельного решения. 

Для студентов специальности 1-43 01 02 «Электроэнергетические системы и сети».

ВВЕДЕНИЕ

Целью преподавания дисциплины "Математическое моделирование в энергетике" является подготовка студентов в области применения современных математических методов для решения задач электроэнергетики на основе алгебры матриц, теории графов, численных методов, вероятностно-статистического анализа и ПЭВМ.

Цель данного методического указания – помощь студентам специальности 1-43 01 02 "Электроэнергетические системы и сети" в практическом освоении:

–  методов формирования уравнений установившегося режима электрических систем в матричной форме;

–  методов решения уравнений при различных формах их записи;

–  определения интегральных характеристик параметров режимов электрических систем.

Для успешного освоения материала и развития навыков решения задач в начале каждой темы кратко изложены основные теоретические положения и алгоритмы решения.

К предлагаемым задачам даны численные решения, в которых для упрощения восприятия все решения приведены на основе вещественных параметров, ходя для реальных электрических систем переменного тока параметры являются комплексными.

С целью повышения качества усвоения материала следует каждому студенту давать персональные аудиторные и домашние задания.

Для обеспечения вычислительного процесса при решении задач рекомендуется применение программных пакетов MathCAD и Excel, микрокалькулятора.

1. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Числовые матрицы и их преобразования

Прямоугольной матрицей А размером m×n называется таблица величин из m строк и n столбцов вида

a11 a12 a13 ... a1 j ... a1n a21 a22 a23 ... a2 j ... a2n

...

A == [ ]a_ij ,

ai1 ai2 ai3 ... aij ... ain ...

am1 am2 am3 ... amj ... amn

где a_ij – элемент матрицы, указывающий положение его в таблице, 

(i – строка, j – столбец), i =1, 2,..., m, j =1, 2,..., n.

Если m ≠ n, то матрица называется прямоугольной размера m×n; если m = n – матрица называется квадратной порядка n. 

Матрица, элементами которой являются числа, называется числовой.

Две матрицы ^A_m×n и ^A_k×l называются равными, если соответствующие элементы этих матриц равны между собой

                                        A =[aij ]m×n ;         B =[bij ]k×l ;          aij = bij .

Матрица, в которой m =1, n >1 называется строкой; матрица, состоящая из m >1 и n =1 – столбцом.

Симметричной матрицей называется матрица, элементы которой располагаются симметрично главной диагонали, т.е. a_ij = a _ji .

Симметричной матрицей является диагональная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы, расположенные на диагонали. 

Диагональная матрица порядка р a₁ 0...0

0 a₂ ...0

  сокращенно записывается как

...

0 0... a_p

A = diag(a_i ), i =1, 2,... p .

Если все элементы a_i диагональной матрицы равны единице, то такая матрица называется единичной и обозначается символом 1. Столбец, все элементы которого равны единице, называются единичным столбцом и обозначается n. Транспонированный единичный столбец есть единичная строка n_t .

Над матрицами можно производить следующие преобразования:

алгебраическое суммирование; умножение числа на матрицу; умножение матриц; транспонирование; обращение.

Алгебраической суммой двух матриц A =[a_ij ]_m×n и B =[b_ij ]_m×n называется матрица C =[c_ij ]_m×n , элементы которой определяются алгебраической суммой соответствующих элементов исходных матриц:

[cij ]=[aij + bij ].

Операция сложения над матрицами обладает свойствами коммутативности и ассоциативности:

                                                              A+ B          = B + A;

A+ (B + C) = (A+ B) + C;

                                                              A+ 0            = A.

Произведением постоянного коэффициента α на матрицу или наоборот является матрица, все элементы которой умножены на этот коэффициент

αa11 αa12 αa13 ... αa1 j ...αa1n αa21 αa22 αa23 ...αa2 j ...αa2n

. .. αA == [αa_ij ].

αai1 αai2 αai3 ... αaij ...αain

...

αam1 αam2 αam3 ...αamj ...αamn

Тождества перемножения матриц:

1) 1⋅A = A;	3) α(β⋅A) = α⋅β⋅A;
2) 0⋅A = 0;	4) α(A + B) = α⋅A + α⋅B;
	5) (α+β)⋅A = α⋅A +β⋅A.

Произведением матриц A =[a_ij ]_m×n и B =[b_ij ]_p×q называется матрица C =[c_ij ]_m×q , элементы которой определяются по выражению

p c_ij ⁼ ∑a_ik ⋅b_kj , i =1, 2,..., n; j =1, 2,..., q.

k =1

Произведение возможно только в том случае, если n = p, т. е. число столбцов множимого равно числу строк множителя.