Числовые матрицы и их преобразования. Операция сложения над матрицами. Тождества перемножения матриц, страница 2

Произведением двух прямоугольных матриц является прямоугольная матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов – числу столбцов второй матрицы.

Свойства матричного произведения: Матричное произведение не обладает свойством коммутативности

1) A⋅(B⋅C) = (A⋅B) C⋅ ;  3) (A + B)⋅C = A⋅C+ B C⋅ ; 2) α⋅(B⋅C) = α⋅B C⋅ ;   4) C⋅(A + B) = C⋅A + C B⋅ ;

                                             5) A⋅B ≠ B A⋅ .

Для произведения квадратной матрицы А на единичную матрицу выполняется закон коммутативности

A⋅1=1⋅A.

Транспонирование матриц

Если в матрице A =[a_ij ]_m×n поменять местами элементы строк и столбцов, то получим транспонированную матрицу A_t =[a _ji ]_n×m .

Дважды транспонированная матрица равна исходной (A_t )_t = A.

Транспонированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспонированных матриц

(A + B)_t = A_t + B_t .

Транспонированная матрица произведения двух матриц равна обратному произведению транспонированных матриц (A⋅B)_t = B_t ⋅A_t .

Детерминанты матриц А и A_t равны, т. е. det A_t = det A.

Симметричная матрица не изменяется при транспонировании  A = A_t .

Обращение матриц

Для квадратной неособенной матрицы А определена операция ее обращения, т. е. нахождения обратной матрицы A^-1.

Обратной называется матрица, которая будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу:

A⋅A^-1 = A^-1 ⋅A =1.

Операция нахождения обратной матрицы называется операцией упрощения.

Не всякая матрица имеет обратную себе. Неособенная матрица имеет себе обратную.

Неособенной матрицей называется матрица, детерминант которой не равен нулю. Матрица, детерминант которой равен нулю, называется особенной и себе обратной она не имеет.

Свойства обратной матрицы:

1.  Детерминант обратной матрицы равен обратной величине детерминанта исходной матрицы

                                                                          det A^-1 = ¹    .

det A

2.  Обратная матрица произведения двух квадратных матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, но взятых в обратном порядке

(A⋅B)-1 = B-1 ⋅A-1

3.  Транспонированная обратная матрица равна обратной транспонированной исходной матрице

(A-1)t = (At )-1.

Обращение матриц применяется для решения систем линейных уравнений

A⋅X = B→ A^-1 ⋅A⋅X = A⁻¹ ⋅B→ X = A⁻¹ ⋅B.

1.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1.2.1.  Произвести алгебраические операции над матрицами.

                                                                                                                                    −2       0

                                                                                                                            C =0          1.

                                                                                                                                        2     −1

в) 2A − 4B−3C;

                                             2⋅1               2⋅04⋅0                 4⋅23⋅(−2) 3⋅0

2A + 4B−3C =2⋅(−1)       2⋅2       + 4⋅(−2) 4⋅0 − 3⋅0             3⋅1=

                                              2⋅3           2⋅(−2)4⋅1              4⋅13⋅2           3⋅(−1)

                                              2⋅1+ 4⋅0−3⋅(−2)                   2⋅0+ 4⋅2 −3⋅08           8

                                          =2⋅(−1) + 4⋅(−2) −3⋅0 2⋅2 + 4⋅0−3⋅1          = −10 1.

                                              2⋅3+ 4⋅1−3⋅2                   2⋅(−2) + 4⋅1−3⋅(−1)4 3

1.2.2. Найти произведение числовых матриц:

                        3                             12 −1                              2 3      3