Числовые матрицы и их преобразования. Операция сложения над матрицами. Тождества перемножения матриц, страница 12

В результате пяти шагов система уравнений приведена к треугольному виду.

Формулы для обратного хода в общем виде:

n x_i a_ij⁽ⁱ⁾x _j , i = n −1,...,1.

j=i+1

Токи в ветвях равны:

I&_ât = [17 3;19 3; 4 3;1 3; 2 3].

Проверку по первому закону Кирхгофа выполнить самостоятельно с представлением токораспределения по схеме.

Применение метода Гаусса с обратным ходом при решении системы узлового уравнения приводим только результаты преобразований на соответствующих шагах.

Исходное узловое уравнение в матричной форме получено на предыдущем занятии:

Y ⋅U_Δ = J ,

⎡ 2,5      −0,5     −1⎤ ⎡UΔ1⎤     ⎡− 4⎤                                     ⎢⎢−0,5     2,5    −1⎥⎥⋅⎢⎢UΔ2⎥⎥ = ⎢⎢−6⎥⎥.                                     ⎢⎣ −1       −1      2 ⎥⎦ ⎢⎣UΔ3⎥⎦  ⎢⎣− 2⎥⎦ Результаты пересчетов на шаге k =1, 2:
⎡1    −0,2    −0,4      −1,6⎤      ⎡1    −0,2    −0,4          ⎢      2,4      −1,2      −6,8⎥;     ⎢        1       −0,5          ⎢                                  ⎥      ⎢         ⎢⎣     −1,2      1,6      −3,6⎥⎦     ⎢⎣                 1	−1,6 ⎤ − 2,83⎥. ⎥ −7 ⎥⎦

В результате двух шагов систему уравнений привели к треугольному виду, поэтому можно выполнить расчет обратного хода:

U&Δ3 = −7;

^U&_Δ2 = −2,83+ 0,5⋅(−7) = −6,33;

^U&_Δ1 = −1,6+ 0,4⋅(−7) + 0,2⋅(−6,33) = −5,666.

Токи в ветвях схемы определяются произведением матриц 

I&â = Zâ-1 ⋅Mt ⋅Uâ ;

⎡1 ⎢0 ⎢ I&â = ⎢0 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0,5 0

0⎤ ⎡−1 0⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0⎥⋅⎢ 1 ⎥ ⎢ 0       1 ⎥ ⎢ 1⎥⎦ ⎢⎣ 0

0 −1 0 −1 1

0 ⎤                       ⎡5,666⎤ 0 ⎥ ⎡−5,666⎤         ⎢6,333⎥        ⎥                   ⎢          ⎥ −1⎥⋅⎢ −6,33 ⎥ = ⎢1,333⎥.              ⎢           ⎥ ⎥    ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣ −7,0 ⎥⎦ ⎢0,333⎥ ⎥ −1⎥⎦                  ⎢⎣0,666⎥⎦

Сопоставление результатов токов ветвях указывает на верность выполнения решения узлового уравнения.

Решим систему узлового уравнения методом Гаусса без обратного хода.

Исходное уравнение в матричной форме

⎡ 2,5 ⎢−0,5 ⎢ ⎢⎣ −1

−0,5 2,5 −1

−1⎤ ⎡UΔ1⎤        ⎡− 4⎤ −1⎥⎥⋅⎢⎢UΔ2⎥⎥ = ⎢⎢−6⎥⎥. 2 ⎥⎦ ⎢⎣UΔ3⎥⎦    ⎢⎣− 2⎥⎦

Первый шаг – выполняется аналогично алгоритма метода Гаусса с обратным ходом, результаты которого:

⎡1 ⎢ ⎢ ⎢⎣

−0,2 2,4 −1,2

−0,4 −1,2 1,6

−1,6⎤ −6,8⎥. ⎥ −3,6⎥⎦

Расчет коэффициентов на произвольном k-ом шаге выполняется по формулам:

akj(k) = akj(k−1) akk(k−1) ;  ^b_kk−1) ; aij(k) = aij(k−1) − aik(k−1) ⋅akj(k) ; bi ; i =1, 2,..., n,  i ≠ k ,  j = k +1, ..., n .

Второй шаг – коэффициенты второго уравнения полученной системы на первом шаге делим на 2,4, получим:

a₂₂⁽²⁾ = 2,42,4 =1;    a₂₃⁽²⁾ = −1,22,4 = −0,5;    b₂⁽²⁾ = −6,82,4 = −2,833.

Пересчитываем коэффициенты a_ij⁽²⁾ и b_i⁽²⁾ для i =1, 3 j = k +1= 3:

a  ; b; a;

b  .

Полученные коэффициенты представим в виде матрицы:

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0

0 1 0

−0,5 −0,5 1

− 2,166⎤ − 2,833⎥. ⎥ −7,0 ⎥⎦

Третий шаг – поскольку ведущий элемент третьей строки матрицы, полученной на втором шаге равен единице, то коэффициенты a33(3) =1, b3(3) = −7.

Пересчету подлежат b₁⁽³⁾ и b₂⁽³⁾ , т. к. при пересчете a₁₃⁽³⁾ и a₂₃⁽³⁾ получаем равными нулю.

b;

b.

Результаты третьего шага в виде матрицы:

                                                         ⎡1             ⎤ ⎡^U_Δ1⎤     ⎡−5,666⎤

                                                         ⎢⎢    1    ⎥⎥⋅⎢⎢UΔ2⎥⎥ = ⎢⎢−6,333⎥⎥.

                                                         ⎢⎣         1⎥⎦ ⎢⎣^U_Δ3⎥⎦   ⎢⎣ −7,0 ⎥⎦