Числовые матрицы и их преобразования. Операция сложения над матрицами. Тождества перемножения матриц, страница 14

Сущность итерационных методов заключается в том, что значения искомых величин, полученных на предыдущей итерации, уточняется на последующей. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены определенные условия.

Метод простой итерации

Допустим, что задана система линейных уравнений

⎧a11x1 + a12x2 +...+ a1n xn = b1;

⎪⎪a21x1 + a22x2 +...+ a2n xn = b2;

⎨             (5.1) ⎪   ...

⎪⎩an1x1 + an2x2 +...+ ann xn = bn.

Разрешим каждое уравнение системы относительно одной переменной, номер которой совпадает с номером уравнения, т. е. приведем систему к нормальному виду

x1 = −

aa1211 x2 −...− aa111n xn + ab111 ; ⎫⎪

⎪

a21 x1 −...− a2n xn + b2 ;⎪⎪

x2 = −

                                                              a22                       a22                a22 ⎬                          (5.2)

                                                                               ...                            ^⎪

⎪

aannn1 x1 − aannn2 x2 −...+ abnnn . ⎪⎪⎭ xn = −

Система (5.2) согласно методу простой итерации решается следующим образом:

1)  задаются начальными приближениями неизвестных x_i⁽⁰⁾ , i =1, 2,..., n;

2)  значения x_i⁽⁰⁾ подставляют в правые части уравнений (5.2) и тем самым определяются следующие приближения неизвестных x_i⁽¹⁾, i =1, 2,..., n;

3)  подстановкой значений x_i⁽¹⁾ находится следующее приближение и т. д.

Таким образом, на k-ом шаге итерационного процесса система

(5.2) запишется как

x1(k) = − a12 x2(k−1) − a13 x3(k−1) −...− a1n xn(k−1) + b1 ; a11  a11       a11       a11 x2(k) = − a21 x1(k−1) − a23 x3(k−1) −...− a2n xn(k−1) + b2 ; a22  a22       a22       a22 ...

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬   (5.3) ⎪ ⎪

^x_n(k) = − a^annn1 ^x₁(k−1) − ^aannn2 ^x₂(k−1) −...− ^ana(nnn−1) ^x_n(k₋−₁1) + a^bnnn . ^⎪⎪⎭

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения x_i , полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения ε, т. е. до выполнения условия x_i^(k+1) − x_i^(k) <ε, i =1, 2,..., n.    (5.4)

Для выполнения условия (5.4) при любой заданной точности решения необходимо, чтобы

lim x_i^k = x_i^∗, i =1, 2,..., n.                    (5.5) k→∞

При выполнении (5.5) для произвольного начального приближения x_i^(k) , i =1, 2,..., n итерационный процесс называется сходящимся.

В противном случае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся.

Условие сходимости итерационного процесса при любом столбце начальных приближений можно записать через элементы матрицы коэффициентов исходной системы уравнений.

n

                                                              ∑ a_ij < a_ii ,  i =1, 2,..., n,                           (5.6)

i=1

j≠i

т. е. если модули диагональных коэффициентов для каждого из уравнений (5.1) больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.

В том случае, если перечисленные условия не соблюдаются, матрица a _jj не является особенной, всегда можно добиться того, чтобы в результате перестановки уравнений (5.1) итерационный процесс всегда сходился.

Отметим, что достаточные условия (5.6) определяются только соотношением элементов матрицы коэффициентов А. Применительно к решению системы узловых уравнений сходимость итерационного процесса будет зависеть только от свойств матрицы узловых проводимостей Y_y . При решении линейных уравнений состояния итерационный процесс по методу простой итерации обычно сходится, хотя и весьма медленно.

Метод Зейделя

Этот метод основан на использовании уравнений, приведенных к виду (5.2). Но в отличие от метода простой итерации для вычисления i-ой переменной на каждом k-ом шаге итерационного процесса используются значения переменных, вычисленные как на предыдущем (k −1)-м шаге, так и на данном. При этом на k-ом шаге итераци-