Числовые матрицы и их преобразования. Операция сложения над матрицами. Тождества перемножения матриц, страница 9

Для определения токов в ветвях и других параметров режима можно применить различные математические методы решения системы линейных уравнений. б) Матричное узловое уравнение 

Y&ó ⋅U&Δ = J − M⋅Yâ ⋅E& , в котором необходимо определить матрицу Y_ó : Y_ó = M ⋅Y_â ⋅M^'_t .

Матрицу М мы определили ранее, Y_â – диагональная матрица, определяемая обращением матрицы Z_â , а M^'_t – транспонированная матрица соединения ветвей в узлах без базисного. Поскольку в нашей задаче за балансирующий и базисный узел принят один и тот же (узел А), то M^'_t = M_t .

Находим Y^&_ó

⎡−1 Yó = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 ⎡ 2,5 = ⎢−0,5 ⎢ ⎢⎣ −1

0           1 −1        0 0        −1 −0,5 2,5 −1

⎡1 1         0 ⎤   ⎢ ⎢ −1       1 ⎥×⎢ ⎥ ⎢ 0       −1⎥⎦   ⎢ ⎢⎣ −1⎤ −1⎥. ⎥ 2 ⎥⎦

1

1

0,5

⎤        ⎡−1 ⎥      ⎢ 0 ⎥   ⎢ ⎥×⎢ 1 ⎥     ⎢ 1 ⎥     ⎢ 1⎥⎦  ⎢⎣ 0

0 −1 0 −1 1

0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ −1⎥ = ⎥ 0        ⎥   −1⎥⎦

Поскольку в ветвях схемы отсутствуют ЭДС, то матричное узловое уравнение для заданной схемы имеет вид:

⎡ 2,5 ⎢−0,5 ⎢ ⎢⎣ −1

−0,5 2,5 −1

−1⎤   ⎡U&1Δ ⎤        ⎡4⎤ −1⎥×⎢U&2Δ ⎥ = −⎢⎢6⎥⎥.        ⎥   ⎢      ⎥ 2 ⎥⎦  ⎣⎢U&3Δ ⎥⎦     ⎢⎣2⎥⎦

Для определения напряжений узлов относительно базисного и других параметров можно применить различные математические методы решения системы линейных уравнений. в) Матричное контурное уравнение имеет вид:

Z_ê ⋅ I&_ê = E&_ê − N⋅Z_â ⋅⎡⎢M-α1⎤⎥⋅ J& .

⎣ 0 ⎦

Поскольку в ветвях схемы нет E&_i , то последнее уравнение преобразуется

Z_ê ⋅ I_ê = −N⋅Z_â ⋅⎡⎢M-α1⎤⎥⋅ J&.

⎣ 0 ⎦

В последнем выражении определению подлежат матрицы Z_ê ,

M-1α .

Определим матрицу Z_ê = N⋅Z_â ⋅ N_t ,

                                                                              ⎡1                        ⎤    ⎡ 1     −1⎤

                                                                              ⎢     1                  ⎥   ⎢−1     1 ⎥

⎡ 1 Zê = ⎢−1 ⎣

−1 1

0 −1

1 0

0⎤    ⎢ 1⎥⎦×⎢⎢ ⎢ ⎢⎣

1

2

⎥     ⎢ ⎥×⎢ 0 ⎥     ⎢ 1 ⎥     ⎢ 1⎥⎦  ⎢⎣ 0

⎥    ⎡ 4 −1⎥ = ⎢− 2        ⎥    ⎣ 0 ⎥ 1 ⎥⎦

− 2⎤ 4 ⎥⎦.

По известной матрице M = [M_αM_β] определим M^-1_α :

                                                      ⎡−1     0       1 ⎤             ⎡−1     0     −1⎤

                                     M_α = ^⎢⎢ 0     −1    0 ^⎥⎥; M^-_α¹ = ^⎢⎢ 0    −1     0 ^⎥⎥.

                                                     ⎢⎣ 0      0     −1⎥⎦            ⎢⎣ 0      0    −1⎥⎦

Определим произведение матриц правой части контурного уравнения (упрощенного):

− N⋅Z_â ⋅⎡⎢M-α1⎤⎥⋅ J& =

⎣ 0 ⎦

                                                                     ⎡1                        ⎤   ⎡−1     0     −1⎤   ⎡4⎤

                                                                     ⎢     1                  ⎥    ⎢ 0     −1     0 ⎥    ⎢6⎥     

          ⎡ 1     −1     0     1    0⎤   ⎢                      ⎥   ⎢                   ⎥    ⎢ ⎥  ⎡0⎤

= ^⎢⎣−1      1     −1    0   1⎥⎦×⎢⎢         1           ⎥⎥×⎢⎢ 0      0     −1⎥⎥×⎢⎢2⎥⎥ = ⎢⎣2⎥⎦.

                                                                                                  2              0      0      0        0

                                                                     ⎢                      ⎥   ⎢                   ⎥    ⎢ ⎥

                                                                     ⎢⎣                   1⎥⎦  ⎢⎣ 0      0      0 ⎥⎦  ⎢⎣0⎥⎦

Итак, контурное уравнение в матричной форме имеет вид:

                                                                  ⎡ 4     -2⎤     ⎡I_ê1⎤     ⎡0⎤