Числовые матрицы и их преобразования. Операция сложения над матрицами. Тождества перемножения матриц, страница 5

–  матрицы соединений ветвей в узлах [М], или I матрицы инциденций, которая позволяет сформировать узловую модель электрической сети и в общем виде записать уравнения первого закона Кирхгофа;

–  матрицы соединения ветвей в независимые контуры [N], или II матрицы инциденций, которая позволяют сформировать контурную модель электрической сети и в общем виде записать уравнения второго закона Кирхгофа.

Матрица соединения ветвей в узлах – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин графа n, а число столбцов – числу ребер m. Она обозначается следующим образом: M_Σ = (m_ij ), i =1, 2,..., n, j =1, 2,..., m.

Номер строк i соответствуют номерам вершин, а номера столбцов j – номером ребер. Элементы матрицы M_Σ могут принимать одно из трех значений:

m_ij = +1, если узел i является начальной вершиной ветви j; m_ij = −1, если узел i является конечной вершиной ветви j; m_ij = 0, если узел i не является вершиной ветви j.

Каждая строка матрицы M_Σ показывает, какими вершинами соответствующие ветви присоединяются к данному узлу схемы; каждый столбец – какие узлы являются начальной и конечной вершинами данной ветви. Сумма всех строк этой матрицы (по столбцам) должна давать нулевую (строчную) матрицу:

ⁿ_t ⋅M_Σ = 0, где – n_t единичная строка.

Если выделить строку, соответствующую узлу, принятому за балансирующий, причем номер ее принять последним, то это условие запишется в виде

⎡M ⎤

[n_t1]×^⎢⎣_Má ^⎥_⎦ = 0, откуда ^M_á = −ⁿ_tM, где  М – матрица соединений для схемы без балансирующего узла; M_á – матрица соединений для балансирующего узла.

Для практических расчетов достаточно пользоваться матрицей М, по которой может быть восстановлена вся схема

                                                                                           ⎡   M    ⎤

M_Σ = ⎢⎣− n_tM⎥⎦.

Матрица соединений ветвей в независимые контуры – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу независимых контуров графа k, а число столбцов – числу ветвей (ребер) m. Она обозначается:

N = (n_ij ), i =1, 2,..., k , j =1, 2,..., m.

Номера строк i соответствуют номерам независимых контуров, а номера столбцов j – номерам ветвей.

Элементы матрицы N определяются следующим образом:

n_ij = +1, если ветвь j входит в контур i и их направления совпадают; n_ij = −1, если ветвь j входит в контур i и их направления противоположны; n_ij = 0, если ветвь j не входит в контур i.

Каждая строка матрицы N показывает, какие ветви входят в соответствующие независимые контуры и какое направление имеют относительно направления контура. Каждый столбец матрицы N показывает, в состав каких независимых контуров входит данная ветвь и совпадает ли ее направление с направлениями этих контуров.

Для обеспечения наглядной структуры матриц параметров сети целесообразно вести упорядоченную нумерацию элементов схем с использованием принципа ярусности.

1.  В схеме электрической сети выбирают (задается) балансирующий узел (БУ) – шины электростанции или крупной подстанции энергосистемы, мощность которого, в отличие от других узлов сети, не фиксируется.

Балансирующему узлу присваивается последний (n +1)–й номер.

2.  Последовательно числами натурального ряда на графе схемы нумеруются все ветви, идущие от БУ, и такие же номера присваиваются узлам, которые являются концами этих ветвей (концом первой ветви должен быть узел № 1, концом второй – узел № 2, и т. д.). Эти ветви составят первый ярус схемы. Затем, начиная с первой вершины графа, по аналогичному принципу, выбираются и нумеруются ветви второго яруса, оттекающие от конечных вершин ветвей первого яруса, затем ветви третьего яруса, оттекающие от конечных вершин ветвей второго яруса и т. п. То есть, начальными вершинами ветвей последующего яруса служат концы ветвей предыдущего яруса, и рассмотрение узлов ведется в порядке возрастания их номеров – в этом суть принципа ярусности.

Для всех ветвей за положительное принимается, направление от начальной вершины к конечной.