Алгоритм метода Гаусса без обратного хода (в литературе известен также под названием схемы Жардана). Решение системы n линейных алгебраических уравнений по этому алгоритму осуществляется за один этап, в результате которого матрица коэффициентов А за n однотипных шагов приводится к единичной, т. е. система уравнений разрешается относительно искомых неизвестных, которые равны соответствующим элементам полученного в результате преобразований столбца в правой части системы.
Выполнение операций произвольного (k-го) шага соответствует преобразованию k-го столбца таким образом, чтобы его диагональный элемент (ak(kk)) стал равен единице, а недиагональные элементы (a(jkk), j ≠ k ) – нулю. Формулы для расчета коэффициентов системы уравнений на k-м шаге приведены в практических решениях узлового уравнения.
В ряде задач в решаемой системе линейных уравнений A⋅ x = b матрица коэффициентов А остается неизменной, а меняются только столбцы правых частей. В таких случаях может оказаться целесообразным обращение матрицы А, т. е. представление решения системы уравнений в виде X = A−1 ⋅b. Чтобы определить Х, надо вычислить
A−1 и умножить эту матрицу справа на столбец b.
Обращение матрицы можно выполнить на основе алгоритма метода Гаусса без обратного хода и классическим способом, изложенным в [1, П1].
Обобщенное уравнение в матричной форме решим методом Гаусса с обратным ходом.
Исходное уравнение получено на предыдущем занятии
|
⎡−1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣−1 |
0 −1 0 −1 1 |
1 0 −1 0 −1 |
1 −1 0 2 0 |
0 ⎤ ⎡Iâ1⎤ ⎡− 4⎤ 1 ⎥ ⎢Iâ2⎥⎥ ⎢⎢−6⎥⎥ ⎥ ⎢ −1⎥⋅⎢Iâ3⎥ = ⎢− 2⎥. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 Iâ4⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥⎦ ⎢⎣Iâ5⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ |
Формулы для расчетов коэффициентов системы уравнений в матричной форме на произвольном шаге k:
akj(k) = akj(k−1) 
akk(k−1) ; b
kk−1) ; aij(k) =
aij(k−1) − aik(k−1) ⋅akj(k)
; bi 
; i,
j = k +1,..., n .
Вычислим коэффициенты на шаге k =1:
a
;
a
;
a
; a
;
a
;
b
; a
;
a
;
a
;
a
; a
;
b
;
a
;
a
;
a
; a
; a
;
b
.
Пересчет коэффициентов второго и третьего уравнений не производили, т. к. коэффициенты первого столбца в этих уравнениях равны нулю.
Результаты пересчетов представим в виде расширенной матрицы на шаге k =1:
|
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣0 |
0 −1 0 −1 1 |
−1 0 −1 1 − 2 |
−1 −1 0 3 −1 |
0 1 −1 0 1 |
4 ⎤ −6⎥ ⎥ − 2⎥. ⎥ − 4 ⎥ 4 ⎥⎦ |
Результаты расчетов на последующих шагах приводим без подробных пояснений в виде матриц:
|
шаг k = 2 |
шаг k = 3 |
||||||
|
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣0 |
0 −1 −1 1 0 1 0 −1 0 0 1 4 0 − 2 − 2 |
0 −1 −1 −1 2 |
4 ⎤ 6 ⎥ ⎥ − 2⎥; ⎥ 2 ⎥ − 2⎥⎦ |
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣0 |
0 −1 −1 1 0 1 0 1 0 0 0 4 0 0 − 2 |
0 −1 1 − 2 4 |
4⎤ 6⎥ ⎥ 2⎥ ; ⎥ 0 ⎥ 2⎥⎦ |
|
шаг k = 4 |
шаг k = 5 |
||||||
|
⎡1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ |
0 −1 −1 1 0 1 1 0 1 |
0 −1 1 −0,5 3 |
4⎤ 6⎥ ⎥ 2⎥; ⎥ 0 ⎥ 2⎥⎦ |
⎡1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ |
0 −1 −1 1 0 1 1 0 1 |
0 −1 1 −0,5 1 |
4 ⎤ 6 ⎥ ⎥ 2 ⎥. ⎥ 0 ⎥
2 |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
3⎥⎦