Числовые матрицы и их преобразования. Операция сложения над матрицами. Тождества перемножения матриц, страница 7

Первый – на основе решения обобщенного уравнения. 

Обобщенное уравнение состояния электрической цепи

                                                                        A⋅ _I^& = _F^& ,                                           (3.1)

⎡ M ⎤

где A = ⎢⎣N_Zâ ⎥⎦ – блок объединенной матрицы параметров схемы замещения системы;

F^& = ^⎡⎢ ^J& ^⎤⎥ – блок объединенной матрицы исходных параметров

⎣E_ê ⎦ режима.

Уравнение (3.1) можно решить относительно матрицы токов ветвей.

Для формирования обобщенного уравнения состояния (3.1) необходимо определить матрицы М и N.

Матрица М содержит исчерпывающую информацию о конфигурации соответствующей ей схемы.

Матрица N для сложных электрических систем может быть однозначно определена, если известны M_α, M_β – блоки, соответствующие дереву и хордам графа.

Матрица N представляется блоками: ветви контуров, входящие в дерево N_α, и ветви хорд N . _β Матрицу N _β можно задать равной единичной матрице (N_β =1).

Тогда матрицу N_α можно вычислить по выражению

Nα = −Mβt ⋅Mα−1t .

В случае разомкнутой схемы матрица М является квадратной, так же как и матрица M_α в общем случае. При этом обобщенное уравнение состояния (.6) сводится к матричному уравнению первого закона Кирхгофа (.1)

                                                                        M_p ⋅ I^& = J^& ,                                         (3.2) где M_p = M_α – первая матрица соединения для разомкнутой сети.

Уравнение можно решить относительно токов ветвей по выражению

                                                         I&_p  J& ,                                    (3.3)

где C_p = M_p⁻¹ – матрица коэффициентов распределения задающих токов по ветвям разомкнутой сети.

По найденной матрице I^& определяются падения напряжения на ветвях схемы U_â согласно уравнению закона Ома U_â = Z_âI& − E . Далее находятся напряжения узлов относительно балансирующего U&_Δ   Uâ = Mt ⋅U&Δ

⎡⎣⎢UUââαβ⎤⎦⎥ = ⎡⎣⎢ÌÌ βαtt ⎤⎥⎦⋅UΔ → Uâα = Ì αt ⋅U&Δ; Uâβ = Ì βt ⋅U&Δ , где M_αt – квадратная и неособенная матрица → ^U&U&_âα тогда

^U&â^U&âα.

При известном напряжении балансирующего узла U&_δ определяется и напряжения узлов U&_i

                                                  U&_i =U&_δ +U&_Δi ,    i =1, 2,..., n −1.

Последовательность расчета параметров характеризуется тем, что на первом этапе решается система уравнений порядка m, где m – число ветвей.

Второй – на основе решения системы узловых напряжений.

Матричное узловое уравнение в общем виде имеет вид

                                                       Y_y^U&_Δ = ^J& − M⋅Y_â^Å& ,                                     (3.4) где  Y_y = M⋅Y_â ⋅M^'_t – матрица узловых проводимостей;

         U&_Δ =U&_i −U&₀ – напряжение узлов относительно базисного;

Y_â – матрица проводимости ветвей, определяется по исходной матрице Z_â ;

U₀ – напряжение базисного узла.

Решив систему (.) относительно U&_Δ , можно найти и токи в ветвях

                                                           I^&.                                  (3.5)

При отсутствии ЭДС в ветвях, что характерно для большинства схем замещения реальных электрических систем, уравнения (.) и (.) принимают вид

YyU&Δ = J&  и  I& = Zâ-1 ⋅Mt ⋅U&Δ,

т. е. задача сводится первоначально к определению матрицы узловой проводимости Y_y .

Система решаемых уравнений, связывающих напряжения узлов относительно балансирующего с задающими тока, равна (n −1), что ниже на число независимых контуров k = m − n +1;

Третий – на основе решения контурных уравнений. Матричное контурное уравнение имеет вид

                                                              & = E&ê − NZâ ⎡⎢M-α1⎤⎥⋅ J& ,                         (3.6)

Zê Iê

⎣ 0 ⎦

а токи в ветвях схемы

                                                                   I& = ⎡⎢^M-α1⎤⎥⋅ J& + N_t ⋅ I&_ê ,                     (3.7)