Расчёт конической оболочки. Случай распределённой нагрузки. Расчет усилий в оболочке. Уравнение Лапласа, страница 4

Задача 7

Расчёт длинной цилиндрической оболочки, подкреплённой кольцами

Цилиндрическая оболочка, подкрепленная равноотстоящими кольцами, площадь сечения которых F, подвергается внешнему равномерно распределенному радиальному давлению интенсивностью q (рис. 1). Для нахождения усилий и перемещений в любом сечении следует наложить решение для оболочки, загруженной равномерно распределённым радиальным давлением, на решение для оболочки, загруженной погонными моментами и поперечными силами по торцу.

Задача определения радиальных перемещений w для такой оболочки статически неопределима, и для её решения необходимо составить уравнение совместности деформаций. Рассмотрим отдельно два случая: кольцаабсолютно жёсткие и кольца могут деформироваться.   


Рис. 1. Схема оболочки, подкреплённой кольцами

1. Кольца абсолютно жёсткие. Силу взаимодействия, возникающую между кольцом и оболочкой, обозначим X: погонная поперечная сила Q0 по схеме б равна половине силы взаимодействия Х: 

                                                                                                                  (1)

Уравнение совместности деформаций имеет вид

                                                                               (2)

Оно представляет собой условие того, что радиальное перемещение оболочки в сечении х = 0, в котором расположено кольцо, произойти не может. Перемещение оболочки (w)оq от нагрузки q, которое было бы при отсутствии кольца, уничтожается перемещением оболочки , вызванным погонными усилиями Q0 и М0, возникающими в сечении х = 0 вследствие наличия в последнем подкрепляющего кольца.

Примечание. Верхние индексы «о» в формуле (2) показывают, что перемещения относятся к оболочке.

Радиальное перемещение оболочки от нагрузки q по безмоментной теории

По ранее полученному решению радиальное перемещение оболочки от действия погонной поперечной силы Q0 и погонного изгибающего момента М0

Подставив соответствующие выражения в уравнение (2), связывающее абсолютные значения перемещений, получим

                                                          (3)

Заменим Q0 и М0 в. этом уравнении на неизвестные силы взаимодействия X. Поперечная сила Q0 связана с X зависимостью (1). Уравнение для замены М0 на X найдём из условия, что в силу симметрии изгиба оболочки касательная к изогнутой срединной поверхности оболочки в сечении х = 0 должна быть горизонтальными (см. рис. 1):

или на основании полученной ранее формулы

.

С учётом формулы (1)

                                                                                            (4)

Подставив в уравнение (2) выражения для Q0 и Мо, получим

откуда

Рис. 2. К уравнениям совместности деформации для жёстких колец

Так как при помощи выражения для коэффициента затухания перемещений можно написать

                                                                                     (5)

то окончательное выражение для погонной силы взаимодействия

                                                                                                     (6)

Тогда погонная поперечная сила Q0 и изгибающий момент М0 в сечении х = 0 по оси подкрепляющего кольца по формулам (1) и (4)

                                                                                                   (7)

                                                                                           (8)

Такие же выражения Q0 и М0получатся для цилиндрической оболочки, нагруженной радиальной сжимающей равномерно распределённой нагрузкой у защемленной кромки. Условия деформации у такой кромки те же, что и в случае абсолютно жёсткого подкрепляющего кольца.

2. Кольца могут деформироваться. В этом случае уравнение совместности деформаций следует записать так:

                                                                          (9)

Оно отличается от уравнения (2), так как радиальное перемещение оболочки, представленное левой частью уравнения (9), уже не равно нулю. Разность абсолютных величин перемещений оболочки, вызванных нагрузкой q и погонными усилиями Q0 и М0, должна быть равна обжатию кольца , вызванному погонной силой взаимодействия X (рис. 3).