Проекция Гаусса-Крюгера. Элементы геометрии земного эллипсоида. Радиусы кривизны главных нормальных сечений и параллели, средний радиус кривизны

Раздел 7. Проекция Гаусса-Крюгера.

Тема 7.1. элементы геометрии земного эллипсоида.

§1 Радиусы кривизны главных нормальных сечений и параллели, средний радиус кривизны.

Через нормаль к поверхности эллипсоида можно провести множество плоскостей. Эти плоскости называются нормальными. Кривые, образуемые от пересечения нормальных плоскостей в данной точке, с поверхностью эллипсоида, называются нормальными сечениями. В каждой точке на поверхности эллипсоида есть два взаимно перпендикулярных сечения, кривизна которых имеет максимальное и минимальное значение. Эти нормальные сечения называются главными нормальными сечениями.

В точке М поверхность эллипсоида вращения главными нормальными сечениями будут меридианное сечение точки М  и сечение первого вертикала. Эти два сечения представляются эллипсами. Сечение первого вертикала, проходящее через точку М, будет перпендикулярно меридианному сечению точки М.

Обозначим через M и N радиусы кривизны меридиана и первого вертикала. Не приводя выводы формул, запишем:

, где: a – большая полуось эллипсоида; e – первый эксцентриситет эллипсоида; B – геодезическая широта точки M.

Из формул видно, что радиусы кривизны возрастают при увеличении широты. Запишем отношение N и M.

На полюсе B=90˚, поэтому на полюсе M и N будут равны. Во всех остальных случаях N больше M. Если меридиан имеет меньший радиус, то кривизна наибольшая. Радиусом кривизны первого вертикала является отрезок нормали ТТ₁.

Средним радиусом кривизны  в данной точке поверхности называется предел, к которому стремится среднее арифметическое из радиусов кривизны нормальных сечений, когда  число их стремится к бесконечности.

Для точек эллипсоида средний радиус кривизны Rравен среднему геометрическому из радиусов кривизны главных нормальных сечений, меридиана и первого вертикала, проведенных для той же точки.

Радиус кривизны меридиана применяют при вычислении длин дуг меридианов и разности широт.

Разность кривизны первого вертикала применяют при вычислении длин дуг параллелей, разности долгот и азимутов.

Средний радиус кривизны применяют, когда Землю принимают за шар; при вычислении сферических избытков и других случаях.

Если TT₁ радиус кривизны первого вертикала, а r – радиус кривизны параллели, проходящей через точку T, то

§2 Вычисление длин дуг меридианов и параллелей.

Пусть требуется определить длину дуги меридиана между точками A и C с широтами B₁ и B₂. Разобьем этот отрезок дуги на бесконечно малые отрезки, тогда дуга малого отрезка выразится формулой , как малый отрезок дуги окружности радиуса M.

Длина всей дуги A_c определится из интегрирования функции  в пределах от B₁ до B₂:

В триангуляции, при длинах дуг свыше 45 км используется формула:

Здесь: M_m – радиус кривизны меридиана для средней широты

Для длин дуг менее 45 км можно воспользоваться формулой:

,это означает, что длину дуги можно определить, как дугу центрального угла окружности равном B₂-B₁.

Длина дуги параллели (окружности) определяется формулой:

, где .

§3 Понятие о взаимных нормальных сечениях и геодезической линии.

Возьмем на поверхности эллипсоида две точки A и B, не лежащие на одном меридиане с широтами B_A и B_С. Широта  B_С >B_A. Проведем нормали в точках A и B. Нормали не пересекаются, так как лежат в разных плоскостях. Широты B_A и B_Сне равны, значит нормали пересекают малую ось эллипсоида в разных местах. Нормаль с более северной широтой пересекает малую ось южнее, чем нормаль с меньшей широтой.

Плоскость, проходящая через нормаль AN_A и точку C, не совпадает с плоскостью, проведенной через нормаль CN_C и точку A. Первая плоскость образует с поверхностью эллипсоида нормальное сечение A_AC, вторая нормальное сечение C_CA. Между двумя точками поверхности эллипсоида проходят два нормальных сечения, которые называются взаимными нормальными сечениями. Сечение A_AC прямое, а сечение C_CA обратное в точке A.

Если начальная точка A лежит южнее точки C, то прямое нормальное сечение точки A отклоняется к югу от обратного.

Прямое нормальное сечение можно представить, если в точке A установить теодолит, чтобы его вертикальная ось совпадала с нормалью, то при визировании на вторую точку C, выставленные в створе вешки, обозначат прямое нормальное сечение на поверхности эллипсоида.

При измерении на земной поверхности вертикальная ось теодолита устанавливается по отвесной линии, в то время  как прямое нормальное сечение является стороной триангуляции, полигонометрии на поверхности эллипсоида. Значит, при проектировании на поверхность эллипсоида надо вводить поправки за уклонение отвесных линий и за высоту наблюдаемой цели над поверхностью эллипсоида.

В равнинных районах принимают измеренные направления на поверхности Земли такими же и на поверхности эллипсоида. Если по измеренным направлениям составить треугольники, то стороны следует изобразить взаимно обратными нормальными сечениями. Значит, на поверхности эллипсоида не образуется замкнутой фигуры.