Проекция Гаусса-Крюгера. Элементы геометрии земного эллипсоида. Радиусы кривизны главных нормальных сечений и параллели, средний радиус кривизны, страница 3

Отображение поверхности эллипсоида на плоскости называется картографической проекцией.

Все картографические проекции можно классифицировать по двум основным признакам:

- по характеру искажений;

- по способу построения картографической сетки.

По первому признаку они бывают: равноугольные, равновеликие и произвольные.

В равноугольных проекциях нет искажений углов.

В равновеликих  проекциях отсутствуют искажения площадей.

В произвольных проекциях искажаются углы и площади. По второму признаку – способы построения картографической сетки имеет три типа проекций: перспективные, конические, цилиндрические.

В перспективных проекциях проектирование производится из одной точки на картинную плоскость и в зависимости от расстояния этой точки до шара они подразделяются на ортографические, гномонические и стереографические.

Конические и цилиндрические проекции представляются так – сначала проектируется поверхность эллипсоида на конус или цилиндр, а затем поверхности разрезаются по образующей и развертываются на плоскости.

§2 Масштабы и искажения.

Отношение, показывающее во сколько раз уменьшены размеры эллипсоида или шара при его отображение на карте, называется главным масштабом. Главный масштаб подписывается на всех картах, обозначается через μ₀.

Так как поверхность эллипсоида не может быть развернута на плоскости без искажений, поэтому разные линии на поверхности эллипсоида не могут быть уменьшены в равное количество раз. Один и тот же главный масштаб не может быть сохранен на всей площади карты.

Отношение бесконечно малого отрезка на карте к  соответствующей длине отрезка на поверхности эллипсоида называется частным масштабом. Обозначим его через μ.

Обозначим бесконечно малые отрезки на карте  и поверхности эллипсоида соответственно через S и Sˊ, тогда:

Отношение:

если равно единице, то это значит, что линия изобразилась в главном масштабе, и искажений нет. Если не равно единице,

, то - характеризует относительное искажение длин. Частные масштабы различны в различных точках карты и даже в одной точке  по разным направлениям. Н в каждой точке есть два взаимно перпендикулярных направления частные масштабы, по которым частные масштабы имеют максимальную и минимальную величину. Эти направления называются главными направлениями.

Масштабы по главным направлениям обозначаем через  и . Масштабы по главным направлениям необходимо знать, так как через них определяют в картографических проекциях масштабы по любым направлениям, искажения углов и площадей.

Всякий бесконечно малый круг на поверхности эллипсоида в картографических проекциях изобразится эллипсом, за исключением  равноугольной проекции. Такой бесконечно малый эллипс называется эллипсом искажений. Чтобы построить эллипс искажений нужно определить масштабы  и , которые буду полуосями  и  эллипса искажений. Эти масштабы определяют геометрически из правила построения проекции. В определенном масштабе отложим по меридиану и параллели  найденные величины  и , так получены полуоси эллипса искажений, по которым строим эллипс.

Частный масштаб  по направлению определяется равенством:

масштаб площадей выражается формулой

Наибольшее искажение  углов выражается равенством

По трем этим формулам можно определить искажения в любых картографических проекциях.

В равноугольной проекции эллипс искажений обращается в окружность, полуоси  и  равны, значит .

Частные масштабы по всем направлениям равны. Искажения углов , они не искажаются. Масштаб площади равен .

В равновеликих проекциях нет искажения площадей, но подобие фигур на эллипсоиде и проекции не соблюдается. Бесконечно малый круг на поверхности эллипсоида на проекции изобразится эллипсом, но .

Формула предельного искажения углов будет:

Частные масштабы вычисляют по формуле:

Тема 7.3. Основы теории проекции Гаусса-Крюгера.

§1. Основные требования при выборе проекции для геодезических работ.