Проекция Гаусса-Крюгера. Элементы геометрии земного эллипсоида. Радиусы кривизны главных нормальных сечений и параллели, средний радиус кривизны, страница 2

Величина угла Δ между взаимными нормальными сечениями небольшая и зависит от длины линии S, ее азимута A и широты B. Так при B=60˚, A=50˚ при:

·  S=30 км           Δ=0,004"

·  S=100 км         Δ=0,032"

При положении пунктов на одном меридиане или на одной параллели взаимные нормальные сечения сливаются в одну линию.

В триангуляции 2,3,4 класса двойственностью нормальных сечений пренебрегают.

В триангуляции 1 класса двойственность нормальных сечений устраняют тем, что пункты соединяют геодезическими линиями. Геодезическая линия – это кривая, являющаяся кратчайшим расстоянием между двумя точками на поверхности эллипсоида.

Геодезическая линия в точках A и C располагается к прямым нормальным сечениям и составляет с ним угол δ равный 1/3 Δ.

§4 Сферический избыток треугольника.

Стороны триангуляции  по сравнению с размерами эллипсоида весьма малы, поэтому при обработке триангуляции сфероидические треугольники можно без ощутимых погрешностей в углах и длин сторон принять за сферические. Как известно радиус сферы в этом случае принимают равным. 

Стороны сферических треугольников - это дуги больших кругов сферы. Такие треугольники решают по формулам сферической тригонометрии.

Однако малые сферические треугольники, какими являются треугольники триангуляции, удобнее решать не как сферические, а как плоские, по теореме Лежандра.

Пусть дан сферический треугольник  со сторонами   Построим плоский треугольник , чтобы его стороны были равны сторонам сферического треугольника. Используем формулы Лежандра без доказательства для малых треугольников

Сложим эти выражения:

В плоском треугольнике:  

Поэтому

Здесь:

– Называется сферическим избытком,

Чтобы получить плоский угол надо:

Углы   - плоские приведенные. По теореме синусов вычислим стороны плоского треугольника

Пусть сторона    известна

Площадь плоского треугольника

По малости сферических избытков сферические углы заменены на плоские. Таким образом, сферический избыток равен:

Обозначим:

, тогда

Сферический избыток при сторонах меньше 30 км не превышает . При вычислении стороны выражаем в километрах, до сотых долей.

Величина f является функцией широты B

На широте                                  B=35˚                       f= 0.00254

B=55˚                       f= 0.00253

B=75˚                       f= 0.00252

Пример:

Дано: A = 50˚20ˊ19.41ˊˊ        b = 44797.282 м

B = 62˚12ˊ44.54ˊˊ        Bm = 48˚12ˊ

          C= 67˚26ˊ58.43ˊˊ       

1.

2. Вычисление сферического избытка

Обозначим выражение

,    тогда

                                      f = 0.00253   1426.95

                                     b2 = 2007.04                       sin B =0.884681

sin A =0.760831                  D1= 1612.95

sin C = 0.923542                   4.086ˊˊ  4.09

 0.710971

3. Пусть

                 

b = 44797.282 м

4. Решение треугольника

Вершина

измеренные углы сферического треугольника

Поправка на  

Уравненные углы сферического треугольника

Углы плоского треугольника

sin углов плоского треугольника

B

A

C

62˚12ˊ44.54ˊˊ

50˚20ˊ19.41ˊˊ

67˚26ˊ58.43ˊˊ

0.57

0.57

0.57

62˚12ˊ45.11ˊˊ

50˚20ˊ19.98ˊˊ

67˚26ˊ59.00ˊˊ

-1.36

-1.36

-1.37

62˚12ˊ43.75ˊˊ

50˚20ˊ18.62ˊˊ

67˚26ˊ57.63ˊˊ

0.88467988

0.76982866

0.92354082

Ε

ω

180˚00ˊ02.28ˊˊ

04.09

-1.71

180˚00ˊ04.09ˊˊ

180˚00ˊ00.00ˊˊ

Тема 7.2. Общие сведения о картографических проекциях.

§1 Основы классификации проекций.

Поверхность эллипсоида не может быть развернута в плоскости без разрывов и складок, поэтому она отображается с какими-то искажениями.