Определение и примеры метрических пространств, страница 9

где  равно 0 или 2. Совокупность таких последовательностей образует множество мощности континуум. В этом можно убедиться, поставив в соответствие каждой последовательности (2) последовательность

                                      (2' )

где  если  и  если  Последовательность (2' ) можно рассматривать как запись некоторого действительного числа  в виде двоичной дроби. Таким образом, мы получаем отображение множества F на весь отрезок [0, 1]. Отсюда вытекает, что F имеет мощность континуума[5]. Так как множество точек (1) счетно, то эти точки не могут исчерпывать все F.

Упражнение. Доказать непосредственно, что точка  принадлежит множеству F, не являясь концом ни одного из выбрасываемых интервалов.

Установленное соответствие между F и отрезком [0, 1] однозначно, но не взаимно однозначно (за того, что одно и то же число иногда может изображаться различными дробями). Отсюда следует, что F имеет мощность не меньше, чем мощность континуума. Но F – часть [0, 1], следовательно, его мощность не может быть больше, чем мощность континуума (См. примечание на стр. 24.)

Указание. Точка  делит отрезок [0, 1] в отношении 1 : 3. Отрезок [0, ], остающийся после первого выбрасывания, она делит также в отношении 1: 3 и т. д.

Точки (1) называются точками первого рода множества F остальные его точки называются точками второго рода.

Упражнение. Доказать, что точки первого рода образуют в F всюду плотное множество.

Мы показали, что множество F имеет мощность континуума, т. е. содержит столько же точек, сколько и весь отрезок [0, 1].

С этим фактом интересно сопоставить следующий результат: сумма длин всех выброшенных интервалов равна  т. е. в точности единице!

§ 12. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Изометричность

Пусть  и  — два метрических пространства. Отображение f пространства R в  называется непрерывным в точке  если для любого  можно найти такое  что

для всех х таких, что

Иначе говоря, отображение f непрерывно в точке  если для любой окрестности  точки  найдется такая окрестность  точки  что ее образ целиком лежит внутри

Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно во всех точках пространства R.

Если R' — числовая прямая, то непрерывное отображение R в R' называется непрерывной функцией на R.

Как и в случае отображений произвольных множеств, мы будем говорить, что f есть отображение R на R', если каждый элемент  имеет хотя бы один прообраз.

В анализе наряду с определением непрерывности функций «в терминах окрестностей» широко используется эквивалентное ему определение непрерывности «в терминах последовательностей». Аналогично обстоит дело и в случае непрерывных отображений произвольных метрических пространств.

Теорема 1. Для того чтобы отображение f было непрерывно в точке х, необходимо и достаточно, чтобы любой последовательности  сходящейся к х, соответствовала последовательность  сходящаяся к

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность этого условия. Если отображение f не непрерывно в точке х, то существует такая окрестность  точки  что в любой  найдутся точки, образы которых не принадлежат  Полагая  выберем в каждой сфере  точку  так, что  Тогда  но последовательность  не сходится к х, т.е. условие теоремы не выполнено, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Для того чтобы отображение f пространства R на  было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого замкнутого множества из R' был замкнут.

Доказательство. Необходимость. Пусть  — полный прообраз замкнутого множества  Докажем, что М замкнуто. Если  то существует последовательность  точек из М, сходящаяся к х. Но тогда по теореме 1 последовательность  сходится к f(х). Так как  и М' замкнуто, то  и, следовательно,  что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть х — некоторая точка из R, у = f(x) и  — произвольная окрестность у. Множество  замкнуто (как дополнение открытого). По предположению,  замкнуто и, кроме того,  Таким образом,  открыто и  следовательно, в  содержится некоторая окрестность  точки х. Если то  т. е. f непрерывно, что и требовалось доказать.