Определение и примеры метрических пространств, страница 6

Совокупность  открытых множеств из R называется базисом в  если всякое открытое множество в R может быть представлено как сумма некоторого (конечного или бесконечного) числа множеств, принадлежащих этой совокупности.

Для проверки того, является ли данная совокупность открытых множеств базисом или нет, бывает полезен следующий критерий.

Теорема 3. Для того чтобы система открытых множеств  представляла собой базис в R, необходимо и достаточно, чтобы для каждого открытого множества G и для каждой точки  нашлось бы такое множество  из этой системы, что

Доказательство. Если  — базис, то всякое открытое множество G есть сумма некоторых

следовательно, всякая точка х из G принадлежит некоторому  содержащемуся в G. Обратно, если условие теоремы выполнено, то  — базис. Действительно, пусть G — произвольное открытое множество. Для каждой точки  найдем некоторое  такое, что Сумма этих  по всем  равна G.

С помощью этого критерия легко установить, что во всяком метрическом пространство совокупность всех открытых сфер образует базис. Совокупность всех сфер с рациональными радиусами также представляет собой базис. На прямой базисом является, например, совокупность всех рациональных интервалов (т. е. интервалов с рациональными концами).

R называется пространством со счетным базисом, если в R можно найти хотя бы один базис, состоящий из счетного числа элементов.

Теорема 4. Для того чтобы R было пространством со счетным базисом, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовало не более чем счетное[3] всюду плотное множество.

Доказательство. Необходимость. Пусть R имеет счетный базис  Выберем в каждом из  по произвольной точке  Полученное таким образом множество  будет всюду плотно в R. Действительно, пусть х — произвольная точка в R и  — некоторая ее окрестность. Согласно теореме 3, найдется такое множество  что  Так как  содержит по крайней мере одну из точек множества  то любая окрестность  произвольной точки  содержит хотя бы одну точку из  а это и означает, что  всюду плотно в R.

Достаточность. Если  — счетное всюду плотное множество в R, то совокупность сфер  образует в R счетный базис. Действительно, множество всех этих сфер счетно (как сумма счетного множества счетных множеств). Далее, пусть G — произвольное открытое множество и х — некоторая точка в G. По определению открытого множества найдется такое  что сфера  целиком содержится в G. Выберем теперь точку  из множества  так что  Тогда сфера  содержит точку х и содержится в  а следовательно, и в G. В силу теоремы 3 отсюда вытекает, что сферы  образуют базис в R.

В силу этой теоремы приведенные выше (стр. 43) примеры сепарабельных пространств являются в то же время примерами пространств со счетным базисом.

Систему множеств  назовем покрытием пространства R, если  Покрытие, состоящее из открытых (замкнутых) множеств, будем называть открытым {замкнутым) покрытием.

Теорема 5. Если R — метрическое пространство со счетным базисом, то из всякого его открытого покрытия можно выбрать конечное или счетное подпокрытие.

Доказательство. Пусть  — некоторое открытое покрытие R. Таким образом, каждая точка  содержится в некотором

Пусть  — счетный базис в R. Тогда в этом базисе найдется такой элемент  что  Совокупность выбранных таким образом множеств  конечна или счетна и покрывает все R. Выбрав для каждого из  одно из содержащих его множеств  мы и получим конечное или счетное подпокрытие покрытия

Выше уже было указано, что пустое множество и все пространство R одновременно и открыты и замкнуты. Пространство, в котором нет никаких других множеств, одновременно открытых и замкнутых, называется связным. Прямая линия R¹ представляет собой один из простейших примеров связных метрических пространств. Если же из R¹ удалить некоторое конечное множество точек (например, одну точку), то оставшееся пространство будет уже не связным. Простейший пример не связного пространства — две точки, находящиеся на произвольном расстоянии друг от друга.