Определение и примеры метрических пространств, страница 3

Фиксированная точка  называется центром, а число r — радиусом этой сферы.

Замкнутой сферой  мы назовем совокупность точек  удовлетворяющих условию

Открытую сферу радиуса  с центром  мы будем называть также  - окрестностью точки  и обозначать символом

Точка х называется точкой прикосновения множества М, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из М. Совокупность всех точек прикосновения множества М обозначается [М] и называется замыканием этого множества. Так как всякая точка, принадлежащая М, является, очевидно, для М точкой прикосновения (она сама содержится в каждой своей окрестности), то всякое множество содержится в своем замыкании

Теорема 1. Замыкание замыкания М равно замыканию М.

Доказательство. Пусть  Тогда в любой окрестности  этой точки найдется точка  Положим,  рассмотрим сферу  Эта сфера целиком лежит внутри  Действительно, если   то и так как  то по аксиоме треугольника

т.е.  Так как  то в  найдется точка  Но тогда  Так как  — произвольная окрестность точки х, то  Теорема доказана.

Очевидна справедливость следующего утверждения:

Теорема 2. Если  mo

Теорема 3. Замыкание суммы равно сумме замыканий:

Доказательство. Пусть же  т.е. пусть любая окрестность  содержит точку  Если бы  и  то нашлась бы окрестность  не содержащая точек из  и окрестность  не содержащая точек из  Но тогда окрестность  где  не содержала бы точек из  Из полученного противоречия вытекает, что х содержится по крайней мере в одном из множеств  или  т.е.

Так как  то обратное включение следует из теоремы 2.

Точка х называется предельной точкой множества М, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из М.

Предельная точка может принадлежать, но может и не принадлежать М. Например, если М — множество рациональных чисел, принадлежащих отрезку [0, 1], то каждая точка этого отрезка — предельная для М.

Точка х, принадлежащая множеству М, называется изолированной точкой этого множества, если у нее существует окрестность  не содержащая никаких точек из М, отличных от х.

Теорема 4. Всякая точка прикосновения множества М либо предельная для этого множества, либо является изолированной точкой М.

Доказательство. Пусть х — точка прикосновения множества М. Это означает, что всякая ее окрестность  содержит хотя бы одну точку, принадлежащую М. Возможны два случая:

1) Всякая окрестность точки х содержит бесконечно много точек множества М. В этом случае х является предельной точкой для М.

2) У точки х найдется окрестность  содержащая лишь конечное число точек из М. В этом случае х будет изолированной точкой множества М. Действительно, пусть  — отличные от х точки множества М, содержащиеся в  Пусть, далее,  есть наименьшее из положительных чисел  Тогда окрестность  очевидно, не содержит ни одной отличной от х точки множества М. Сама точка х при этом обязательно должна принадлежать М, так как иначе  вообще не содержала бы ни одной точки из М, т. е. х не была бы точкой прикосновения множества М. Теорема доказана.

Итак, множество [М], вообще говоря, состоит из точек трех типов:

1) Изолированные точки множества М.

2) Предельные точки множества М, принадлежащие М.

3) Предельные точки множества М, не принадлежащие М. [М] получается присоединением к М всех его предельных точек.

Пусть  — последовательность точек в метрическом пространстве R. Говорят, что эта последовательность сходится к точке х, если каждая окрестность  содержит все точки  начиная с некоторой (т. е. если для всякого  найдется такое число  что  содержит все точки  c ). Точках называется пределом последовательности

Это определение можно, очевидно, сформулировать еще следующим образом: последовательность  сходится к х, если

Непосредственно из определения предела вытекают следующие утверждения: 1) никакая последовательность не может иметь двух различных пределов, 2) если последовательность  сходится к точке х, то и всякая ее подпоследовательность сходится к той же самой точке.