где S — длина всей рассматриваемой кривой. Это представление удовлетворяет требованию
(длина дуги не меньше хорды).
Переходя к отрезку [0, 1], получим параметрическое представление
удовлетворяющее условию Липшица
Мы видим, таким образом, что для всех кривых длины
где М — некоторая константа, возможно параметрическое представление на отрезке [0, 1] равностепенно непрерывными функциями. К ним, следовательно, применима теорема 1.
Покажем силу полученных общих результатов на примере доказательства следующего важного предложения.
Теорема 3. Если в компакте К две точки А и В можно соединить непрерывной кривой конечной длины, то среди таких кривых существует кривая наименьшей длины.
В самом деле, пусть Y есть нижняя грань длин кривых, соединяющих А и В в
компакте К. Пусть длины кривых 
соединяющих
А с В, стремятся к Y. Из последовательности
по теореме 1 можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность. По теореме 2 предельная кривая этой
подпоследовательности не может иметь длину больше У.
Отметим, что даже в случае, когда К является замкнутой гладкой (надлежащее число раз дифференцируемой) поверхностью в евклидовом трехмерном пространстве, эта теорема не вытекает непосредственно из результатов, устанавливаемых в курсе дифференциальной геометрии, где ограничиваются обычно случаем достаточно близких друг к другу точек А и В.
Все изложенное выше приобрело бы большую прозрачность, если
бы мы создали из множества всех кривых данного метрического пространства R метрическое пространство. Это можно сделать, введя
расстояние между кривыми 
и 
формулой
где
нижняя грань берется по всем возможным парам параметрических представлений
кривой при помощи функции
а кривой при помощи функции
Доказательство того, что это расстояние удовлетворяет аксиомам метрического пространства, очень просто, за исключением одного пункта, представляет некоторые трудности доказать, что из
вытекает тождество кривых и 
Этот
факт является непосредственным следствием того обстоятельства, что нижняя грань
в формуле, которой мы определили расстояние 
достигается
при надлежащем выборе параметрических представлений 
и 
Но доказательство этого последнего
утверждения тоже не очень просто.
[1] Неравенство Коши - Буняковского вытекает из тождества которое проверяется непосредственно.
[2] Иногда их называют «сепарабельными». Другое их определение, основанное на понятии базиса, см. в § 10 (теорема 4).
[3] «Не более чем счетное» означает «конечное или счетное». Конечное всюду плотное множество имеется только в пространствах, состоящих из конечного множества точек.
[4] Множества вида мы также включаем в число интервалов.
[5] Установленное соответствие между Fи отрезком [0, 1] однозначно, но не взаимно однозначно (за того, что одно и то же число иногда может изображаться различными дробями). Отсюда следует, что Fимеет мощность не меньше, чем мощность континуума. Но F – часть [0, 1], следовательно, его мощность не может быть больше, чем мощность континуума (См. примечание на стр. 24.)
[6] Легко видеть, что с этой метрикой есть метрическое пространство.
[7] Следовательно, из любого из условий (2)-(4) вытекает, что
[8] Это, например, следует из того, что замкнутое подмножество полного пространства есть полное пространство.
[9] Система множеств называется центрированной, если любое конечное число этих множеств имеет непустое пересечение.
[10] Это вытекает из того, что предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных отображений есть также непрерывное отображение. Указанное предложение представляет собой непосредственное обобщение известной теоремы анализа и доказывается так же, как и эта теорема.
[11] Допущение таких отрезков неподвижности точки Р = f(t) удобно далее при доказательстве компактности систем кривых.
[12] Мы считаем, что всегда а < b. Однако мы не исключаем «кривых», состоящих из одной единственной точки, получающихся, если на [а, b] функция f(t) постоянна. Это тоже удобно для дальнейшего.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.