Другие предметы \ Функциональный анализ

Определение и примеры метрических пространств, страница 12

Достаточность. Для доказательства достаточности покажем, что если пространство R не полно, т. е. если в нем существует фундаментальная последовательность, не имеющая предела, то в нем можно построить последовательность вложенных друг в друга замкнутых сфер, диаметры которых стремятся к нулю и пересечение которых пусто. Пусть — некоторая фундаментальная последовательность точек из R, не имеющая предела. Построим последовательность замкнутых сфер следующим образом. Пусть число таково, что для всех Обозначим сферу радиуса 1 с центром Далее, пусть таково, что для всех Обозначим сферу радиуса с центром Так как по условию то

Пусть теперь таково, что для всех а — сфера радиуса с центром и т.д. Продолжая это построение, получим последовательность замкнутых сфер вложенных друг в друга, причем имеет радиус Эта последовательность сфер имеет пустое пересечение; действительно, если то В самом деле, сфера содержит все точки начиная с следовательно, для всех Но, по предположению, последовательность не имеет предела. Поэтому

Если пространство R не полно, то его всегда можно включить некоторым вполне определенным образом в полное пространство.

Определение 2. Пусть R — произвольное метрическое пространство. Полное метрическое пространство называется пополнением пространства R, если:

1) R является подпространством пространства

2) R всюду плотно в т. е. (Здесь означает, естественно, замыкание пространства R в )

Например, пространство всех действительных чисел является пополнением пространства рациональных чисел.

Теорема 2. Каждое метрическое пространство R имеет пополнение, и все его пополнения изометричны.

Доказательство. Начнем с доказательства единственности. Нам нужно доказать, что если и — два пополнения пространства R, то они изометричны, т. е. существует такое взаимно однозначное отображение пространства на что

1) для всех

2) если и то

Такое отображение определяется следующим образом. Пусть — произвольная точка из Тогда, по определению пополнения, существует последовательность точек из R, сходящаяся к Но последовательность можно считать входящей и в Так как полно, то сходится в к некоторой точке Положим Ясно, что это соответствие взаимно однозначно и не зависит от выбора последовательности сходящейся к точке Это и есть искомое изометрическое отображение. Действительно, по построению для всех Далее, пусть

тогда

и в то же время

Следовательно,

Докажем теперь существование пополнения. Идея этого доказательства — та же, что и в так называемой канторовой теории действительных чисел. Положение здесь даже существенно проще, чем в теории действительных чисел, так как там для вновь вводимых объектов — иррациональных чисел — требуется еще определить все арифметические операции.

Пусть R — произвольное метрическое пространство. Назовем две фундаментальные последовательности и и R эквивалентными (обозначение ), если Это отношение эквивалентности рефлективно, симметрично и транзитивно. Отсюда следует, что все фундаментальные последовательности, которые можно составить из точек пространства R, распадаются на классы эквивалентных между собой последовательностей. Определим теперь пространство следующим образом. Точками его мы назовем всевозможные классы эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей, а расстояние между ними определим следующим образом. Пусть и — два таких класса. Выберем в каждом из этих двух классов по одному представителю, т. е. по некоторой фундаментальной последовательности: и Положим,