Определение и примеры метрических пространств, страница 13

Таким образом, последовательность действительных чисел  удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел. Остается доказать, что этот предел не зависит от выбора  и  Пусть

Из того что

следует, что

                     т.е.

Докажем теперь, что в R* выполнены аксиомы метрического пространства.

Аксиома 1 непосредственно вытекает из определения эквивалентности фундаментальных последовательностей.

Аксиома 2 очевидна.

Проверим теперь аксиому треугольника. Так как в исходном пространстве R аксиома треугольника выполнена, то

Переходя к пределу при  получаем:

т.е.

Докажем теперь, что  — пополнение пространства R.

Каждой точке  соответствует некоторый класс эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей, именно совокупность всех последовательностей, сходящихся к точке х.

Имеем:

то

Следовательно, поставив каждой точке х в соответствие класс сходящихся к х фундаментальных последовательностей, мы изометрически включим R в пространство

В дальнейшем мы можем не различать само пространство R и его образ в  (т.е. совокупность всех классов эквивалентных между собой сходящихся последовательностей) и рассматривать R как подмножество в

Покажем теперь, что R всюду плотно в  Действительно, пусть  — некоторая точка из  и  произвольно. Выберем в  представителя, т.е. некоторую фундаментальную последовательность  Пусть N таково, что  для всех  Тогда имеем:

т.е. произвольная окрестность точки  содержит некоторую точку из R. Таким образом,

Остается доказать, что пространство  полно. Заметим, прежде всего, что по построению  любая фундаментальная последовательность

                                                          (3)

составленная из точек, принадлежащих R, сходится в  к некоторой точке, а именно к точке  определяемой последовательностью (3). Далее, так как R плотно в  то для любой фундаментальной последовательности  точек из  можно построить эквивалентную ей последовательность  состоящую из точек, принадлежащих R. Для этого достаточно в качестве  взять любую точку из R такую, что

Построенная последовательность  будет фундаментальна и по доказанному сходится к некоторой точке  Но тогда к  сходится и последовательность  Теорема полностью доказана.

§ 14. Принцип сжатых отображений и его применения

В качестве применения понятия полноты рассмотрим так называемые сжатые отображения, представляющие собой полезный аппарат для доказательства различных теорем существования и единственности (например, в теории дифференциальных уравнений).

Пусть R — некоторое метрическое пространство. Отображение А пространства R в себя называется сжатым, если существует такое число  что для любых двух точек

Всякое сжатое отображение непрерывно. Действительно, если  то в силу (1)и

Теорема (Принцип сжатых отображений). Всякое сжатое отображение, определенное в полном метрическом пространстве R, имеет одну и только одну неподвижную точку (т. е. уравнение Ax = x имеет одно и только одно решение).

Доказательство. Пусть  — произвольная точка в R. Положим  и т.д., вообще  Покажем, что последовательность  — фундаментальная. Действительно,

Так как  то при достаточно большом п эта величина сколь угодно мала. Так как R полно, то  существует. Положим,

Тогда в силу непрерывности отображения А

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Если

Ax = x,          Ay = y.

то

где  отсюда следует, что

Принцип сжатых отображений может быть применен к доказательству существования и единственности решений, получаемых методом последовательных приближений. Рассмотрим следующие простые примеры.

1.  где f(x) — функция, определенная на сегменте [а, b], удовлетворяющая условию Липшица

где K < 1, и отображающая сегмент [а, b] в самого себя. Тогда f есть сжатое отображение и, согласно доказанной теореме, последовательность  сходится к единственному корню уравнения х = f(x).