Из аксиомы треугольника непосредственно
следует, что всякая сходящаяся последовательность — фундаментальная.
Действительно, если сходится к х, то для данного
можно найти такое целое число
что
для
всех
Тогда
для
любых
и
Определение 1. Если в пространстве R любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.
Примеры. Все пространства, рассмотренные в § 8, за исключением указанного в примере 7, являются полными. Действительно:
1. В пространстве, состоящем из изолированных точек (пример 1 § 8), фундаментальными являются только те последовательности, в которых, начиная с некоторого номера, повторяется все время одна и та же точка. Ясно, что всякая такая последовательность сходится, т. е. это пространство полно.
2. Полнота пространства R1— совокупности действительных чисел — известна из анализа.
3.
Полнота евклидова пространства непосредственно
вытекает из полноты R1. Действительно, пусть
—
фундаментальная последовательность; это означает, что для каждого
найдется такое
что
при всех р, q, больших чем N. Тогда для каждого
для всех р, q > N, т. е. — фундаментальная
числовая последовательность. Положим,
и
Тогда, очевидно,
4.
Полнота пространства доказывается совершенно
аналогично.
5.
Докажем полноту пространства Пусть
— некоторая фундаментальная
последовательность в
Это означает, что для каждого
существует такое N, что
при п, т
> N для всех
Отсюда вытекает, что последовательность
равномерно сходится, ее предел есть
некоторая непрерывная функция x(t), причем
для всех t и для всех
п, больших чем некоторое N, а это и означает, что сходится к x(t) в смысле метрики пространства
6.
Пространство l2. Пусть где
— фундаментальная последовательность в l2.
Для любого найдется
такое N, что
(1)
Отсюда следует, что при любом k
т.е. при каждом k последовательность действительных чисел сходится. Положим
Обозначим через х последовательность
Нужно показать, что:
Для этого неравенство (1) запишем в виде
(M произвольно). Так как каждая из этих двух сумм
неотрицательна, то каждая из них не больше Следовательно,
Зафиксируем в этом неравенстве т и
перейдем к пределу при
Получим:
Так как это неравенство верно при любом М, то
в нем можно перейти к пределу при Получим:
Из полученного неравенства и сходимости ряда следует сходимость ряда
следовательно, х есть элемент из l2. Далее, так как
произвольно мало, то
это неравенство означает, что
т.е.
7.
Легко убедиться в том, что пространство полно.
Например, последовательность непрерывных функций
фундаментальная, но она не сходится ни к какой непрерывной
функции (она сходится в смысле среднего квадратичного уклонения к разрывной
функции, равной при t < 0,
при t > 0 и 0 при t = 0).
Упражнение. Доказать, что пространство всех ограниченных последовательностей (§ 8, пример 8) полно.
В анализе широко используется так называемая лемма о вложенных отрезках. В теории метрических пространств аналогичную роль играет следующая теорема, называемая принципом вложенных сфер.
Теорема 1. Для того чтобы метрическое пространство R было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых сфер, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
Доказательство.
Необходимость. Пусть пространство R полно и пусть — последовательность
вложенных друг в друга замкнутых сфер. Пусть
— диаметр
сферы
По условию
Обозначим через
центр сферы
Последовательность
—
фундаментальная. Действительно, если
то, очевидно,
Так как R полно, то
существует. Положим,
тогда Действительно, сфера
содержит все точки данной
последовательности, за исключением, может быть, точек
Таким
образом, х является предельной точкой для каждой сферы
Но так как
—
замкнутое множество, то
для всех n.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.