ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Санкт – Петербург, 2008
Введение
1. Сокращенные обозначения в математике
- знак подмножества: означает, что множество является подмножеством (составной частью) множества , иначе говоря все элементы, принадлежащие , принадлежат также и
- знак допущения, заменяет слова «предположим», «допустим»
- знак существования, как правило заменяет слово «существует»
- знак произвольности, обычно заменяет слово «любой»
- знак единственности, используется вместо слова «единственный»
- знак окрестности (некоторой прилегающей области)
- знак следствия: означает, что из утверждения следует утверждение , то есть при выполнении обязательно будет выполняться и
- знак эквивалентности: означает, что утверждения и эквивалентны (равнозначны), то есть и выполняются или не выполняются одновременно
- знак тождественного равенства: например, подчеркивает, что равенство имеет место при всех , в то время как уравнение выполняется только при
- знак приближенного (неточного) равенства
- знак рассмотрения (глаз), заменяет слово «рассмотрим»
- знак, заменяющий слова «такое, что»
Перечеркнутый символ означает отрицание, например:
- «не равно»
- «не принадлежит»
Пример 1: Предложение «допустим, что существует единственное решение уравнения » можно коротко записать как «»
Пример 2: Предложение «рассмотрим некоторую окрестность точки , такую, что для любого , принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство » эквивалентно записи «».
2. Элементы математической логики
Определение 1: Утверждение, состоящее в том, что утверждение ложно ( не имеет места), называют отрицанием и обозначают . Отметим, что .
Определение 2: Логическим сложением утверждений () называют утверждение, состоящее в том, что по крайней мере одно из двух утверждений ( или ) истинно.
Определение 3: Логическим умножением утверждений () называют утверждение, состоящее в том, что оба утверждения ( и ) истинны.
Определение 4: Импликацией (логическим следствием) называют утверждение, состоящее в том, что если утверждение истинно, то и утверждение тоже истинно (если ложно, то импликация считается истинной), называют условием, - заключением.
Определение 5: Утверждения и называют взаимно обратными.
Определение 6: Произведение прямого и обратного утверждений называют утверждением эквивалентности и обозначают . Утверждение эквивалентности означает, что либо и оба истинны, либо они оба ложны, при этом не имеет значения какое из двух утверждений делать.
Определение 7: Утверждения и называют взаимно противоположными.
Теорема 1:
И то и другое утверждения являются ложными только в одном случае: когда - истинное, а - ложное, в остальных случаях оба утверждения истинны. Ч.Т.Д.
Теорема 2: Прямое и противоположное обратному утверждения эквивалентны (равносильны):
Действительно, из Т1 следует: Ч.Т.Д.
На непосредственном использовании Т2 основан способ доказательства, который носит название доказательства от противного: делается предположение, которое отрицает следствие импликации (теоремы), после чего показывается, что данное предположение приводит к отрицанию условия импликации, то есть к логическому противоречию, откуда следует вывод об истинности следствия импликации. Другими словами, вместо прямого утверждения доказывается утверждение противоположное обратному .
Пример 1: Докажем, что число иррациональное, то есть не может быть представлено в виде несократимой дроби .
Условие теоремы: ( - несократимая дробь, то есть натуральные числа и не содержат в своем составе общих простых чисел).
Следствие теоремы:
Предположим, что следствие теоремы ложно:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.