Математика \ Математика

Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 13

Пример 4: Исследовать сходимость ряда .

. Поскольку ряд , где сходится, а , то согласно признаку сравнения 1.2 ряд также является сходящимся.

Пример 5: Исследовать сходимость ряда (смотри (5))

, следовательно, согласно признаку Даламбера, ряд сходится.

Определение 4: Ряд вида

, (56)

где все (либо все ) называют знакочередующимся.

Достаточное условие (признак) сходимости знакочередующегося ряда можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 2 (Лейбница): Знакочередующийся ряд сходится, если

1) (необходимое условие)

2) Начиная с некоторого выполняется неравенство (последовательность абсолютных значений членов ряда не возрастает).

Действительно, как видно из примера на рис. 16, последовательность частичных сумм такого ряда является ограниченной и осциллирует с амплитудой, стремящейся к нулю (поскольку ), следовательно, она сходится. Ч.Т.Д.

Определение 5: Ряд называется абсолютно сходящимся, если .

Для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. При исследовании свойства абсолютной сходимости используют признаки сходимости знакоположительных рядов.

Теорема 3: Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится также и в обычном смысле, то есть сходится сходится.

Действительно, представим исходный ряд в виде разности двух знакоположительных рядов, для чего введем две новые последовательности :

, тогда , причем .

Поскольку ряд сходится по условию теоремы, то, согласно признаку сравнения 1.1, сходятся и знакоположительные ряды . Для частичных сумм исходного ряда имеем: . Поскольку последовательности частичных сумм для рядов, стоящих в правой части равенства, сходятся, то сходится и последовательность частичных сумм исходного ряда: . Ч.Т.Д.

Отметим, что обратное утверждение не верно. Из обычной сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость.

Пример 6: Исследовать сходимость ряда

Как следует из рассмотрения примера 3, ряд не имеет абсолютной сходимости. С другой стороны, это знакочередующийся ряд, члены которого удовлетворяют условиям: 1) 2) . Следовательно, согласно теореме Лейбница, ряд сходится.

Как будет показано в дальнейшем,

. (57)

Определение 6: Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называют условно сходящимся.

Достаточно нетривиальным представляется вопрос о порядке суммирования (замене мест слагаемых) бесконечного ряда. Оказывается, что, в отличие от любых сумм с конечным числом слагаемых, изменение порядка суммирования бесконечного ряда может приводить в общем случае к изменению результата суммирования.

Теорема 4: Сумма ряда , сходящегося абсолютно, не зависит от порядка суммирования. Абсолютно сходящиеся ряды называют также коммутативными.

Теорема 5 (Римана): Члены любого условно (неабсолютно) сходящегося ряда можно переставить таким образом, что ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу или же станет расходящимся.

Пример 7: Проиллюстрируем теорему Римана на примере ряда (57).

Переставим члены ряда (57) двумя приведенными ниже способами и найдем сумму ряда, соответствующую каждому из порядков суммирования.

Как видно из приведенного примера, сумма условно сходящегося ряда (57) в зависимости от порядка суммирования может, по крайней мере, оказаться равной , или . Более сложные перестановки членов ряда приведут к другим результатам суммирования. Отметим, что замена местами любого конечного числа слагаемых не приведет к изменению суммы ряда.