Рассмотрим поведение последовательностей и при для произвольного фиксированного числа .
Для , где - любое постоянное число, имеем:
при любом .
Теперь перейдем к рассмотрению пределов при .
Поскольку ряд сходится, (разность , где - последовательность частичных сумм сходящегося ряда, а - ее предел, стремится к нулю), следовательно
.
Окончательно получаем
.
В частности, при имеем: .
Определение 1: Основанием натуральных логарифмов называют число , которое определяется одним из двух эквивалентных способов
. (58)
Определение 2: Экспонентой числа называют число , которое определяется одной из двух эквивалентных формул
. (59)
Теорема 1: При любом числа и связаны формулой
. (60)
Поскольку , для доказательства формулы (60) нужно показать, что .
Действительно, для любого рационального имеем , где .
Далее, справедливо следующее предельное соотношение
, из которого получаем
.
Поскольку интересующий нас предельный переход доказан для всех рациональных , а любое вещественное может быть сколь угодно точно аппроксимировано рациональным числом, мы приходим к заключению, что предельный переход верен при всех . Ч.Т.Д.
12. Предел функции при
Для начала рассмотрим предел функции при . Определение даного предела аналогично определению предела последовательности.
Определение 1: Говорят, что функция имеет при предел, равный , если для любого (сколь угодно малого) можно указать , такое что для всякого выполняется неравенство . Пишут
или . (61)
Как и в случае предела последовательности, графически существование у функции конечного предела, равного , означает, что график функции имеет в области больших горизонтальную асимптоту .
Пример 1: Найти предел функции при .
Поскольку функция есть показательная функция с основанием , она выходит при на горизонтальную асимптоту (см. рис. 7), откуда заключаем .
Помимо приведенного выше определения, можно дать эквивалентное определение предела функции при , непосредственно связанное с понятием предела последовательности.
Определение 2: Говорят, что функция имеет при предел, равный , если для любой последовательности последовательность .
Отметим, что стремление должно иметь место для любой последовательности , а не только для какой-либо определенной .
Пример 2: Исследовать существование предела функции при .
Очевидно, что функция не имеет горизонтальной асимптоты при , следовательно, предел у функции отсутствует.
Прийдем к аналогичному заключению с точки зрения определения 2. Не смотря на то, что существуют сходящиеся последовательности для некоторых частных последовательностей , например
,
,
, в общем случае произвольной последовательности предел последовательности будет отсутствовать. Скажем, для , последовательность
предела не имеет.
Исключение составляют монотонные функции. Для них существование предела при эквивалентно существованию предела для произвольной .
Теорема 1: Пусть есть монотонная функция и существует последовательность , такая, что , тогда .
Действительно, из существования конечного предела следует ограниченность функции (для неограниченных функций должно выполняться неравенство при всех , в том числе при , что противоречит сходимости ). Как и в случае последовательности, любая монотонная ограниченная функция имеет предел. Поскольку точки располагаются на линии, задающей графическое представление функции , последняя должна иметь ту же самую асимптоту, что и график последовательности , то есть . Ч.Т.Д.
Определение 3: Говорят, что функция имеет бесконечный предел (или ), если для любого (сколь угодно большого) можно указать , такое что для всякого выполняется неравенство ().
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.