Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 20

Аналогично получается формула для производной от котангенса .

Пример 7: Найти производную от .

Поскольку нам известна производная от , воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции (88):

Пример 8: Найти производную от степенной функции с произвольным показателем степени.

Данная формула обобщает результат примера 2 на случай степенной функции с произвольным (не обязательно натуральным) показателем степени.

Пример 9: Найти производную от функции .

Воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции (88), а также основным тригонометрическим тождеством:

Предлагаем читателю найти производные от функций самостоятельно. Для удобства дальнейшего использования суммируем полученные выше результаты в виде таблицы производных:

Основные формулы дифференцирования:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Формулы дифференцирования элементарных функций:

2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9)

10) 11)

12) 13)

Пример 10: Найти производную от функции .

Пример 11: Найти производную от функции .

Воспользовавшись свойствами логарифма, получаем

К аналогичному результату можно прийти, рассмотрев как композицию двух функций и :

Пример 12: Найти производные от функции и .

В первом случае имеет место композиция функций и , следовательно

Во втором случае присутствует композиция тех же элементарных функций, но в обратном порядке (внутренняя и внешняя функции заменены местами) , .

Пример 13: Найти производную от функции .

Простейший ход решения выглядит следующим образом:

(смотри таблицу элементарных функций).

Другой вариант решения – воспользоваться формулой производной от частного:

Наконец, можно рассмотреть функцию как композицию двух функций и , тогда

Пример 14: Найти производную от функции .

Очевидно, что данная функция представляет собой композицию нескольких элементарных функций. Наиболее прямой (и наиболее громоздкий) способ решения состоит в том, чтобы последовательно, начиная с самой внутренней, определить все функции, входящие в композицию, после чего воспользоваться формулой (87). Самой внутренней функцией композиции (той, которая в первую очередь вычисляется при расчете на калькуляторе) является линейная функция , далее имеем: , , , .

Отметим, что, в свою очередь, функцию можно было представить в виде композиции двух более простых функций и , однако, поскольку вычисление производной непосредственно от функции не вызывает труда, это привело бы только к неоправданному увеличению записи решения.

Более красивый способ решения заключается в том, чтобы изначально упростить выражение для . Пусть, по-прежнему, , тогда

Теперь можно представить функцию как композицию только трех функций: , , . Вновь применяя формулу (87), получаем

Пример 15: Найти производную от функции .

Известные формулы дифференцирования для степенной и показательной функций в данном случае не приемлемы, поскольку как основание, так и показатель степени не являются постоянными (зависят от ). Для того чтобы свести функцию к показательной, воспользуемся основным логарифмическим тождеством