Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 2

Мы приходим к отрицанию условия теоремы:  ( не является несократимой дробью) Ч.Т.Д. 

Определение 8: Если доказана истинность теоремы , то  называют необходимым условием для выполнения .

Действительно, поскольку , то из невыполнения  автоматически следует, что  также не выполняется.

Определение 9: Если доказана истинность обратной теоремы , то  называют достаточным условием для выполнения .

Отметим, что необходимое и достаточное условия никогда не следуют друг из друга. Каждое из них нуждается в отдельном доказательстве.

Пример 2:  Здесь  является необходимым, но не достаточным условием для выполнения .

Если верны как прямая , так и обратная  теоремы, то утверждения  и  оказываются эквивалентны , при этом  является необходимым и достаточным условием для выполнения , в  свою очередь  является необходимым и достаточным условием для выполнения .

Отметим также, что согласно Т2 доказательство обратного утверждения  можно заменить доказательством противоположного утверждения .

Метод математической индукции состоит в следующем: для доказательства верности утверждения  при всех натуральных  нужно доказать, что

1.   верно при ,

2.   при любом .

Пример 3: Докажем, что для - го члена и суммы первых  членов геометрической прогрессии, которая определяется заданием первого члена  и рекуррентной формулой  (- знаменатель геометрической прогрессии) имеют место следующие формулы:

,                                                                (1)

1.  При  имеем: ,   

2.  Пусть формулы (1) верны для , докажем их верность для :

,     

      Ч.Т.Д.   

3.  Множества чисел

- множество натуральных чисел .

Множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения (), однако не содержит обратных по этим операциям элементов.

- множество целых чисел  получается из  добавлением нуля и всех обратных по сложению (противоположных) элементов.

Определение 1: Факториал целого числа  определяется формулой:

                                                          (2)

Определение 2: Двойной факториал целого числа  задается формулами:

             ,        если - четное

          ,        если - нечетное              (3)

- множество рациональных чисел , где - целые числа,  получается из  добавлением всех обратных по умножению элементов  с последующим «замыканием» по умножению, то есть составлением всевозможных произведений  ( обратного по умножению элемента не имеет, его аналогом является символ бесконечности ).

Теорема 1: Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Пример 1:  - конечная десятичная дробь с четырьмя значащими цифрами после десятичной точки. Конечная десятичная дробь может рассматриваться как бесконечная с периодом :    

Пример 2: ,   ,    - бесконечные десятичные дроби с периодами ,  и  соответственно.

- множество вещественных чисел , где  получается из  добавлением всевозможных пределов последовательностей, составленных из рациональных чисел (понятие предела последовательности будет рассмотрено в §10).

Пример 3: Дана последовательность, все члены которой ,

Пример 4: Дана последовательность   , . Действительно, при  мы получим бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Определение 3: Вещественное число, которое не является рациональным (не представимо в виде периодической десятичной дроби) называют иррациональным.

Теорема 2: Всякое иррациональное число может быть с любой степенью точности аппроксимировано (приближено) рациональным числом.

Действительно, оставив в десятичной записи иррационального числа первые цифр после десятичной точки и заменив все последующие цифры нулями, мы получим рациональное число, которое аппроксимирует исходное иррациональное с погрешностью  Ч.Т.Д.

Пример 5: - иррациональное число (смотри пример 1, §3)

,  где                (4)    

Пример 6: Основание натуральных логарифмов - иррациональное число.

,   где                                            (5)