Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 8

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Типичные графики степенных функций приведены на рис. 4. Область определения степенной функции зависит от показателя степени :

Частными случаями суммы степенных функций являются линейная и квадратичная функции.

Определение 2: Линейной функцией называют функцию вида

(34)

Графиком линейной функции является прямая (рис. 5). Параметр определяет тангенс угла наклона прямой. При функция возрастает, при - убывает, при значение функции постоянно (не зависит от ) и прямая располагается параллельно оси . Параметр определяет параллельный сдвиг прямой (угол наклона неизменен) вдоль оси . При линейная функция имеет единственный корень .

Определение 3: Квадратичной функцией называют функцию вида

(35)

График квадратичной функции называют параболой (рис. 6). Поскольку

, координаты вершины параболы (точки минимума или максимума) задаются формулами:

(36)

Если перенести центр координат в точку , что эквивалентно замене переменных

, мы получим приведенный вид уравнения параболы:

. (37)

Параметр определяет скорость изменения функции (остроту минимума или максимума). Чем больше , тем круче располагаются ветви параболы. При ветви параболы направлены вверх, при - вниз, при парабола превращается в прямую.

Квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени и, следовательно, имеет два корня (в общем случае комплексных) при любых значениях параметров. Корни легко найти из уравнения (36):

Величину называют дискриминантом квадратного уравнения. При оба корня квадратного уравнения вещественны и парабола пересекает ось в двух точках. При вещественных корней нет, и точки пересечения параболы с осью отсутствуют. При два вещественных корня совпадают, парабола касается оси в одной точке.

Отметим, что функции, обратные к степенным, также являются степенными: если , то . Действительно, .

Определение 4: Показательной функцией называют функцию вида

(38)

Основные свойства показательных функций:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Типичные графики показательных функций приведены на рис. 7. Областью определения показательных функций является вся вещественная ось. Параметр определяет характер и скорость изменения показательной функции. При функция возрастает, при - убывает, при значение функции постоянно . Поскольку , графики функций и расположены симметрично относительно оси . Чем больше , тем быстрее возрастает функция.

Определение 5: Экспонентой называют показательную функцию с основанием (см. пример 6, §4) . Уникальность экспоненты обусловлена сохранением ее вида при дифференцировании: .