Если решить уравнение , относительно для всех значений , мы получим совокупность различных зависимостей (функций) . В этом случае говорят, что функция является многозначной (- значной) функцией комплексной переменной , при этом различные однозначные функции называют ветвями функции . В ходе решения задач всегда необходимо конкретизировать о какой именно ветви многозначной функции идет речь, иными словами - в каком именно диапазоне (кратности ) находится аргумент независимой переменной.
Существуют функции с бесконечным числом ветвей. Например:
, . (17)
Степенная функция с иррациональным показателем степени также имеет бесконечное число ветвей. Действительно:
, . (18)
Поскольку , то ни при каком произведение .
Пример 8: Найти все значения для .
,
Для возведения комплексного числа в комплексную степень нужно представить основание степени в показательной форме , а показатель степени – в алгебраической форме , тогда
(19)
Мы видим, что неоднозначность аргумента в общем случае приводит к неоднозначности как модуля, так и фазы функции .
Пример 9: Найти все значения для .
Этот результат можно получить непосредственно из (19), подставив
Пример 10: Найти все значения для .
Поскольку , непосредственно из (19) получаем:
Пример 11: Вычислить .
5. Алгебраические уравнения
Определение 1: Многочленом (полиномом) степени с комплексными коэффициентами называют функцию вида:
(20)
коэффициент носит название свободного члена.
Определение 2: Алгебраическим уравнением степени называют уравнение вида:
(21)
Определение 3: Решением (корнем) уравнения называется число (в общем случае комплексное), такое что .
Алгебраическое уравнение первой степени (линейное уравнение) имеет единственное очевидное решение: .
Алгебраическое уравнение второй степени (квадратное уравнение) всегда имеет два корня:
, (22)
.
В том случае, если коэффициенты квадратного уравнения вещественны, корни квадратного уравнения вещественны при и комплексно сопряжены при . При корни квадратного уравнения совпадают .
Теорема 1 (Основная теорема алгебры): Всякое алгебраическое уравнение степени имеет корней, некоторые из которых могут совпадать.
Иными словами, любой полином может быть представлен в виде:
причем . (23)
Число называют кратностью корня . Корень кратности называют простым.
Следует отметить, что при формулы, выражающие корни алгебраического уравнения через его коэффициенты (аналогичные (22)) либо весьма громоздки и неудобны для использования (при , либо вообще не получены для всех коэффициентов (при ). Тем не менее, в ряде случаев достаточно просто найти все корни или некоторые из корней алгебраического уравнения с используя один из следующих способов:
Первый способ - понижение степени уравнения.
Если алгебраическое уравнение содержит только степени, кратные натуральному числу :
, то путем замены переменной степень уравнения может быть понижена в раз.
Пример 1: Решить уравнение .
Поскольку , исходное уравнение имеет двукратный корень . Для нахождения оставшихся шести корней рассмотрим уравнение . Сделав замену переменной , получаем . По формуле (22) находим , откуда
(см. пример 7, §5),
Второй способ решения алгебраических уравнений с основывается на непосредственном использовании следующей теоремы.
Теорема 2: Если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень , то он является делителем свободного члена: .
Действительно, .
Пример 2: Решить уравнение .
Делителями свободного члена являются целые числа . Проверка показывает, что и являются корнями уравнения (- не являются), следовательно, исходное алгебраическое уравнение можно представить в виде
.
Для нахождения коэффициентов поделим исходное выражение «в столбик» на
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.