Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 7

Пример 4: Функции возрастает во всей области определения . Функция убывает во всей области определения .

Определение 6: Функция называется ограниченной сверху (снизу) на интервале , если для любого выполняется неравенство (), где есть некоторые постоянные (не зависящие от ) числа. Минимальное из чисел называют верхней границей функции, максимальное из чисел - нижней границей. Функция, ограниченная как сверху, так и снизу, то есть удовлетворяющая неравенству называется ограниченной.

Пример 5: Функция ограничена во всей области определения . Верхняя граница , нижняя граница .

Определение 7: Зависимость между переменными и называется взаимно однозначной на интервале , если функция строго монотонна на этом интервале, при этом каждое значение получается только при одном .

Определение 8: Для любой функции , строго монотонной на интервале , может быть однозначно определена обратная функция на образе интервала , то есть на множестве . Обратная функция задается формулой:

или . (28)

Пример 6: Найти обратную функцию к функции .

Функция является монотонно убывающей на интервале и монотонно возрастающей на интервале . Для каждого из этих двух интервалов можно однозначно определить обратную функцию:

Действительно, , .

Свойство 1: Графики функций и расположены симметрично относительно прямой (см. рис. 3).

Действительно, любые две точки с координатами и располагаются симметрично относительно прямой . Из уравнений (28) следует, что каждая пара точек с координатами (принадлежит графику исходной функции) и (принадлежит графику обратной функции) располагается симметрично относительно прямой .

Определение 9: Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для каждого выполняется равенство

. (29)

Пример 7: Исследовать свойство четности функции .

В силу определения (29) функция четная. Отметим, что функции и также являются четными.

Свойство 2: График четной функции расположен симметрично относительно оси .

Определение 10: Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для каждого выполняется равенство

. (30)

Пример 8: Исследовать свойство четности функции .

Функция нечетная.

Свойство 3: График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (относительно последовательного отражения от осей и ). График нечетной функции, непрерывной в окрестности точки , проходит через начало координат .

Определение 11: Функция называется периодической, если для любого выполняется равенство

. (31)

Минимальное из чисел называют периодом функции.

Пример 9: Исследовать периодичность функций , .

имеет период . Действительно, .

периода не имеет: .

Свойство 4: График периодической функции с периодом достаточно построить на любом интервале , в остальной части ООФ график автоматически получается путем параллельного сдвига на .