Поскольку величину можно формально рассмотреть как функцию переменной , получаем: , то есть приращение независимой переменной всегда совпадает с ее дифференциалом. Что касается зависимой переменной, то значения приращения функции и дифференциала (то есть приращения касательной), вообще говоря, различны. Однако, при , различие между и исчезает. Данное обстоятельство достаточно очевидно уже из рассмотрения графика (рис. 21), более строгое рассмотрение имеет вид:
.
Таким образом, различие между и является величиной более высокого порядка малости, чем , что может быть записано как
. (78)
В дальнейшем, при рассмотрении ряда Тейлора, мы увидим, что поправка имеет порядок . Обобщая вышесказанное, можем записать , откуда следует
. (79)
Выражение , наряду с и , используется для обозначения производной функции по переменной .
Формула (75) является отправной точкой для вывода различных правил дифференцирования (нахождения производных).
Теорема 1: Производная от постоянной величины равна нулю.
(80)
Действительно, . Ч.Т.Д.
Отметим, что при дифференцировании по переменной , любое выражение, не зависящее от , является постоянной.
Пример 1: Найти производную функции .
Теорема 2: Постоянный множитель можно выносить за знак дифференцирования.
(81)
Действительно, . Ч.Т.Д.
Теорема 3: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных.
(82)
Действительно,
. Ч.Т.Д.
Объединение двух последних теорем дает
. (83)
Теорема 4: Производная произведения двух функций находится по формуле
. (84)
Действительно,
. Ч.Т.Д.
Теорема 5: Производная частного от деления двух функций находится по формуле
. (85)
Действительно,
. Ч.Т.Д.
Теорема 6: Производная от композиции двух функций равна произведению производных от внешней и внутренней функций композиции по их непосредственным аргументам.
. (86)
Действительно, пусть есть независимая (внутренняя) переменная, - внутренняя функция композиции, - промежуточный аргумент (аргумент внешней функции), - внешняя функция композиции. Имеем:
. Ч.Т.Д.
Если, в свою очередь, рассмотреть как композицию двух функций, и так далее, Теорема 6 может быть непосредственно обобщена на случай композиции произвольного числа функций
. (87)
Формула (87) является основной для практического вычисления производных.
Теорема 7: Производная обратной функции находится по формуле
. (88)
Действительно, пусть - прямая, а - обратная функции. Продифференцировав обе части тождества по переменной , имеем:
, откуда следует . Ч.Т.Д.
Перейдем к практическому вычислению производных. Для начала получим значения производных от известных нам элементарных функций.
Пример 2: Найти производную степенной функции с натуральным показателем степени.
Используя определение производной (75), а также формулу Ньютона (27), получаем
.
Отметим, что при данная формула согласуется с правилом дифференцирования постоянной (80): .
Пример 3: Найти производную от экспоненты .
Представив экспоненту в виде ряда (59), получаем:
.
Пример 4: Найти производную от показательной функции с произвольным основанием .
Используя основное логарифмическое тождество, а также правило дифференцирования сложной функции (86), получаем:
.
Пример 5: Найти производную от .
Воспользовавшись формулой Эйлера (14), имеем:
.
Предлагаем читателю убедиться самостоятельно, что .
Пример 6: Найти производную от .
Используя формулу производной от частного (85), получаем:
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.