Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 19

Поскольку величину  можно формально рассмотреть как функцию переменной , получаем: , то есть приращение независимой переменной всегда совпадает с ее дифференциалом. Что касается зависимой переменной, то значения приращения функции  и дифференциала  (то есть приращения касательной), вообще говоря, различны. Однако, при , различие между  и  исчезает. Данное обстоятельство достаточно очевидно уже из рассмотрения графика (рис. 21), более строгое рассмотрение имеет вид:

.

Таким образом, различие между  и  является величиной более высокого порядка малости, чем , что может быть записано как

.                                                              (78)

В дальнейшем, при рассмотрении ряда Тейлора, мы увидим, что поправка  имеет порядок . Обобщая вышесказанное, можем записать , откуда следует

.                                                         (79)

Выражение , наряду с  и , используется для обозначения производной функции  по переменной .

Формула (75) является отправной точкой для вывода различных правил дифференцирования (нахождения производных).

Теорема 1: Производная от постоянной величины равна нулю.

                                                                         (80)

Действительно, . Ч.Т.Д.

Отметим, что при дифференцировании по переменной , любое выражение, не зависящее от , является постоянной.

Пример 1: Найти производную функции .

Теорема 2: Постоянный множитель можно выносить за знак дифференцирования.

                                                              (81)

Действительно,  . Ч.Т.Д.

Теорема 3: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных.

                                                   (82)

Действительно,   

. Ч.Т.Д.

Объединение двух последних теорем дает

.                                              (83)

Теорема 4: Производная произведения двух функций находится по формуле

.                                         (84)

Действительно,

. Ч.Т.Д.

Теорема 5: Производная частного от деления двух функций находится по формуле

.                                             (85)

Действительно,

. Ч.Т.Д.

Теорема 6: Производная от композиции двух функций равна произведению производных от внешней и внутренней функций композиции по их непосредственным аргументам.

.                                               (86)

Действительно, пусть  есть независимая (внутренняя) переменная,  - внутренняя функция композиции,  - промежуточный аргумент (аргумент внешней функции),  - внешняя функция композиции. Имеем:

.         Ч.Т.Д.

Если, в свою очередь, рассмотреть  как композицию двух функций, и так далее, Теорема 6 может быть непосредственно обобщена на случай композиции произвольного числа функций

.                                       (87)

Формула (87) является основной для практического вычисления производных.

Теорема 7: Производная обратной функции находится по формуле

.                                                  (88)

Действительно, пусть  - прямая, а  - обратная функции. Продифференцировав обе части тождества  по переменной , имеем:

, откуда следует . Ч.Т.Д.

Перейдем к практическому вычислению производных. Для начала получим значения производных от известных нам элементарных функций.

Пример 2: Найти производную степенной функции  с натуральным показателем степени.

Используя определение производной (75), а также формулу Ньютона (27), получаем

.

Отметим, что при  данная формула согласуется с правилом дифференцирования постоянной (80): .

Пример 3: Найти производную от экспоненты .

Представив экспоненту в виде ряда (59), получаем:

.

Пример 4: Найти производную от показательной функции  с произвольным основанием .

Используя основное логарифмическое тождество, а также правило дифференцирования сложной функции (86), получаем:

.

Пример 5: Найти производную от .

Воспользовавшись формулой Эйлера (14), имеем:

.

Предлагаем читателю убедиться самостоятельно, что .

Пример 6: Найти производную от .

Используя формулу производной от частного (85), получаем:

.