При попытке найти пределы для числителя и знаменателя дроби по отдельности получаем:
, то есть во всех трех случаях возникает одно и то же соотношение неопределенности . Раскроем соотношение неопределенности для каждой из последовательностей, для этого подойдем к задаче нахождения пределов более аккуратно, рассматривая числители и знаменатели дробей одновременно.
Как мы видим, неопределенность после раскрытия может оказаться любым отрицательным числом, нулем или символом в зависимости от конкретного вида последовательности.
10. Ряды
Определение 1: Сумму нескольких подряд расположенных членов последовательности , начиная с и заканчивая , будем обозначать
. (51)
Частичной суммой ряда называется сумма первых членов последовательности
. (52)
Определение 2: Говорят, что бесконечный ряд сходится, если существует (конечный) предел последовательности его частичных сумм
(53)
Число называют суммой ряда. Если предела последовательности частичных сумм не существует, ряд называется расходящимся.
Пример 1: Найти сумму ряда геометрической прогрессии.
Сумма первых членов геометрической прогрессии со знаменателем задается формулой (1): . Поскольку последовательность при и расходится при , имеем:
, (54)
при ряд расходится.
Например, поскольку .
Теорема 1 (необходимое условие сходимости ряда): Ряд сходится .
Действительно, если , то в сколь угодно удаленном «хвосте» последовательности существуют такие, что , тогда члены последовательности частичных сумм при сколь угодно больших будут (по крайней мере иногда) получать конечное приращение и выходить из - окрестности предполагаемого предела последовательности , что означает отсутствие предела у последовательности . Ч.Т.Д.
Пример 2: Исследовать сходимость ряда
Поскольку , ряд расходится.
Отметим, что необходимое условие сходимости ряда не является достаточным, то есть стремление членов ряда к нулю не означает еще сходимость ряда. По сути дела мы сталкиваемся с неопределенностью . Действительно, если представить частичную сумму ряда в виде произведения среднего арифметического значения первых членов ряда на число слагаемых , то .
Пример 3: Исследовать сходимость гармонического ряда
Ряд расходится, хотя .
Для оценки скорости возрастания частичной суммы гармонического ряда можно воспользоваться следующей формулой:
, (55)
где есть иррациональное число (постоянная Эйлера).
Определение 3: Ряд, все члены которого одного знака называют знакопостоянным. Ряд, который содержит как положительные, так и отрицательные члены называют знакопеременным.
Поскольку сумма ряда с отрицательными членами отличается лишь общим знаком минус от суммы ряда с положительными членами, будем рассматривать знакоположительные ряды ().
Признаки сходимости знакоположительных рядов:
1) Признак сравнения:
1.1 Пусть или , тогда если сходится сходится,
если расходится расходится.
1.2 Пусть и сходятся или расходятся одновременно.
2) Признак Даламбера:
Пусть при ряд сходится, при ряд расходится.
3) Признак Коши:
Пусть при ряд сходится, при ряд расходится.
При ряды могут оказаться как сходящимися, так и расходящимися.
Отметим, что сходимость или расходимость ряда не зависит от значений произвольного числа первых членов ряда (сходимость определяется «хвостом» ряда), поэтому достаточно, чтобы вышеперечисленные условия выполнялись при всех , где - некоторое натуральное число.
4) Интегральный признак Коши:
Пусть есть невозрастающая (убывающая) непрерывная функция при , тогда ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.
В частности, интеграл сходится при и расходится при , соответственно ряд сходится при и расходится при .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.