Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 9

11)     (обозначение десятичного логарифма)

Графики логарифмических функций можно получить из графиков показательных функций с тем же основанием  путем отражения относительно прямой  (см. рис. 8). Область определения логарифмических функций . При  логарифмические функции возрастают, при  - убывают.

Определение 7: К тригонометрическим функциям относят следующие функции:

,                                (41)

где  и  определяются как декартовы координаты точки с полярными координатами  (точки на единичной окружности, см. рис. 9а), или, в случае комплексного , по формулам Эйлера (14).

Основные свойства тригонометрических функций:

1)     (основное тригонометрическое тождество)

2)     (нечетность функции синуса)

3)     (четность функции косинуса)

4)     (график  получается путем сдвига графика  влево на )

5)                                           6)  

7)                                       8)  

9)                                      10)  

11)            12)  

13)          14)  

15)      

Все вышеперечисленные свойства легко доказать на основе формул Эйлера (14).

Пример 1: Вывести формулы 7) и 13).

Полезно запомнить значения  и  для аргументов , кратных  и  (см. рис. 9б). Графики тригонометрических функций приведены на рис. 10, 11. 

;

;    

Определение 8: Функцию, представленную в виде

,                                                        (42)

будем называть осциллирующей функцией с амплитудой , циклической частотой   и начальной фазой .

Определение 9: К обратным тригонометрическим функциям относят функции

                                            (43)

которые удовлетворяют определяющему свойству всех обратных функций:

                   (44)

        

Поскольку тригонометрические функции не являются монотонными во всей области определения, обратные тригонометрические функции многозначны. Под    и  обычно понимают главные значения обратных тригонометрических функций, которые, в соответствии с интервалами монотонности тригонометрических функций, определяются следующими формулами:

1)                                 

2)                                                                                   (45)

3)                                     

4)                                              .

Главные значения обратных тригонометрических функций удовлетворяют двум дополнительным свойствам:

                                                          (46)

                                                            (47)

Пример 2: Вычислить .

Графики обратных тригонометрических функций приведены на рис. 12, 13. Функции  и  являются нечетными, функции  и  четностью не обладают.

9.   Числовая последовательность. Предел последовательности

Определение 1: Последовательностью называют всякую функцию, определенную на множестве натуральных чисел .

Как правило, последовательность задается одним из двух способов: заданием формулы для - го члена последовательности

   где   - некоторая известная функция, , или заданием рекуррентного соотношения, то есть указанием нескольких первых членов последовательности и правила, на основании которого каждый последующий член последовательности может быть определен по значениям предыдущих.

Пример 1: Геометрическая прогрессия со знаменателем

может быть задана формулой для - го члена , или же рекуррентным соотношением .

Основной характеристикой последовательности является предел последовательности, то есть число, к которому приближается  по мере увеличения .

Определение 2: Говорят, что последовательность  имеет предел, равный , если для любого (сколь угодно малого)  можно указать , такое что для всякого  выполняется неравенство . Пишут

   или   .                                                (48)