11) (обозначение десятичного логарифма)
Графики логарифмических функций можно
получить из графиков показательных функций с тем же основанием путем отражения относительно прямой
(см. рис. 8). Область определения
логарифмических функций
. При
логарифмические функции возрастают, при
- убывают.
Определение 7: К тригонометрическим функциям относят следующие функции:
,
(41)
где и
определяются
как декартовы координаты точки с полярными координатами
(точки
на единичной окружности, см. рис. 9а), или, в случае комплексного
, по формулам Эйлера (14).
Основные свойства тригонометрических функций:
1)
(основное тригонометрическое
тождество)
2)
(нечетность функции синуса)
3)
(четность функции косинуса)
4)
(график
получается
путем сдвига графика
влево на
)
5) 6)
7) 8)
9)
10)
11) 12)
13) 14)
15)
Все вышеперечисленные свойства легко доказать на основе формул Эйлера (14).
Пример 1: Вывести формулы 7) и 13).
Полезно запомнить значения и
для
аргументов
, кратных
и
(см. рис. 9б). Графики тригонометрических
функций приведены на рис. 10, 11.
;
;
Определение 8: Функцию, представленную в виде
,
(42)
будем называть осциллирующей функцией с амплитудой
, циклической частотой
и начальной фазой
.
Определение 9: К обратным тригонометрическим функциям относят функции
(43)
которые удовлетворяют определяющему свойству всех обратных функций:
(44)
Поскольку тригонометрические
функции не являются монотонными во всей области определения, обратные
тригонометрические функции многозначны. Под
и
обычно понимают главные значения
обратных тригонометрических функций, которые, в соответствии с интервалами
монотонности тригонометрических функций, определяются следующими формулами:
1)
2)
(45)
3)
4)
.
Главные значения обратных тригонометрических функций удовлетворяют двум дополнительным свойствам:
(46)
(47)
Пример 2: Вычислить .
Графики обратных тригонометрических функций
приведены на рис. 12, 13. Функции и
являются нечетными, функции
и
четностью
не обладают.
9. Числовая последовательность. Предел последовательности
Определение 1: Последовательностью называют всякую функцию,
определенную на множестве натуральных чисел .
Как правило, последовательность задается одним из
двух способов: заданием формулы для - го
члена последовательности
где
- некоторая известная функция,
, или заданием рекуррентного соотношения, то есть
указанием нескольких первых членов последовательности и правила, на основании
которого каждый последующий член последовательности может быть определен по
значениям предыдущих.
Пример 1: Геометрическая прогрессия со знаменателем
может быть задана формулой для - го
члена
, или же рекуррентным соотношением
.
Основной характеристикой последовательности
является предел последовательности, то есть число, к которому
приближается по мере увеличения
.
Определение 2: Говорят, что последовательность имеет
предел, равный
, если для любого (сколь угодно
малого)
можно указать
, такое
что для всякого
выполняется неравенство
. Пишут
или
. (48)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.