11) (обозначение десятичного логарифма)
Графики логарифмических функций можно получить из графиков показательных функций с тем же основанием путем отражения относительно прямой (см. рис. 8). Область определения логарифмических функций . При логарифмические функции возрастают, при - убывают.
Определение 7: К тригонометрическим функциям относят следующие функции:
, (41)
где и определяются как декартовы координаты точки с полярными координатами (точки на единичной окружности, см. рис. 9а), или, в случае комплексного , по формулам Эйлера (14).
Основные свойства тригонометрических функций:
1) (основное тригонометрическое тождество)
2) (нечетность функции синуса)
3) (четность функции косинуса)
4) (график получается путем сдвига графика влево на )
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15)
Все вышеперечисленные свойства легко доказать на основе формул Эйлера (14).
Пример 1: Вывести формулы 7) и 13).
Полезно запомнить значения и для аргументов , кратных и (см. рис. 9б). Графики тригонометрических функций приведены на рис. 10, 11.
;
;
Определение 8: Функцию, представленную в виде
, (42)
будем называть осциллирующей функцией с амплитудой , циклической частотой и начальной фазой .
Определение 9: К обратным тригонометрическим функциям относят функции
(43)
которые удовлетворяют определяющему свойству всех обратных функций:
(44)
Поскольку тригонометрические функции не являются монотонными во всей области определения, обратные тригонометрические функции многозначны. Под и обычно понимают главные значения обратных тригонометрических функций, которые, в соответствии с интервалами монотонности тригонометрических функций, определяются следующими формулами:
1)
2) (45)
3)
4) .
Главные значения обратных тригонометрических функций удовлетворяют двум дополнительным свойствам:
(46)
(47)
Пример 2: Вычислить .
Графики обратных тригонометрических функций приведены на рис. 12, 13. Функции и являются нечетными, функции и четностью не обладают.
9. Числовая последовательность. Предел последовательности
Определение 1: Последовательностью называют всякую функцию, определенную на множестве натуральных чисел .
Как правило, последовательность задается одним из двух способов: заданием формулы для - го члена последовательности
где - некоторая известная функция, , или заданием рекуррентного соотношения, то есть указанием нескольких первых членов последовательности и правила, на основании которого каждый последующий член последовательности может быть определен по значениям предыдущих.
Пример 1: Геометрическая прогрессия со знаменателем
может быть задана формулой для - го члена , или же рекуррентным соотношением .
Основной характеристикой последовательности является предел последовательности, то есть число, к которому приближается по мере увеличения .
Определение 2: Говорят, что последовательность имеет предел, равный , если для любого (сколь угодно малого) можно указать , такое что для всякого выполняется неравенство . Пишут
или . (48)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.