Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 15

Пример 3: Исследовать существование предела функции при .

Для любого числа можно указать , такое, что при всех выполняется неравенство , следовательно, согласно определению 3, . Отметим, что график функции (рис. 8) по мере удаления вправо пересекает любую, сколь угодно высоко расположенную, горизонтальную линию , что позволяет прийти к тому же заключению.

Все теоремы и свойства, приведенные в параграфе 10, могут быть непосредственно использованы для нахождения предела функции при .

Пример 4: Найти предел функции при .

согласно Т2 из параграфа 10 имеем .

Пример 5: Найти предел функции при .

Согласно утверждению 2 параграфа 10 имеем: .

Как показано в предыдущем примере, при вычислении предела функции мы пренебрегаем величинами, имеющими более высокий порядок малости (малыми) по сравнению с величинами более низкого порядка малости (большими). Иначе говоря, в сумме мы оставляем слагаемое , если , или наоборот, слагаемое , если . Приведем более точную классификацию малости одной величины по сравнению с другой.

1) при .

Говорят, что является величиной порядка малости не меньшего, чем при , если отношение ограничено для всех , больших некоторого .

Отметим, что отношение не обязано иметь предел при . Например,

поскольку , однако не существует.

Перейдем к рассмотрению более частных случаев, когда существует.

Говорят, что имеет тот же порядок малости, что и если отношение стремится к конечному, отличному от нуля числу.

Говорят, что является величиной более высокого порядка малости по сравнению с , если отношение стремится к нулю.

4) .

Говорят, что величины и эквивалентны если отношение стремится к единице.

Утверждение 1: Пусть , тогда если , где - произвольная функция, то и .

Действительно, , функция , функция ограничена, следовательно .

Утверждение 2: При вычислении предела функции в суммах можно пренебрегать величинами более высокого порядка малости по сравнению с величинами более низкого порядка.

Действительно, пусть , тогда .

Утверждение 3: При вычислении предела функции можно заменять величину на эквивалентную.

Действительно, пусть , тогда .

Утверждение 4: При вычислении предела функции нельзя пренебрегать одной величиной по сравнению с другой, имеющей тот же или больший порядок малости.

Для нахождения пределов функций необходимо изначально классифицировать элементарные функции по порядку малости. Начнем с классификации при . Нам уже известна классификация степенных функций.

Утверждение 5: При степенные функции с меньшим показателем степени имеют более высокий порядок малости (следует оставлять функции с большим показателем степени).

Утверждение 6: При показательные функции с меньшим основанием имеют более высокий порядок малости (следует оставлять функции с большим основанием).

Действительно, пусть , тогда и (см. рис. 7), откуда получаем

Утверждение 7: При всех , в частности, при все логарифмические функции имеют одинаковый порядок малости.

Действительно, .

Сравним теперь различные классы элементарных функций между собой.

Утверждение 8: При степенные функции имеют более высокий порядок малости, чем показательные функции с основанием, большим единицы, и более низкий порядок малости, чем показательные функции с основанием, меньшим единицы.

Рассмотрим для начала , где - произвольное натуральное число.

Поскольку для любой степенной функции можно указать степенную функцию с большим натуральным показателем степени , которая растет быстрее, чем , но медленнее, чем , получаем, что при любом . Рассмотрим теперь , где .