Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 15

Пример 3: Исследовать существование предела функции  при .

Для любого числа  можно указать , такое, что при всех  выполняется неравенство , следовательно, согласно определению 3, . Отметим, что график функции  (рис. 8) по мере удаления вправо пересекает любую, сколь угодно высоко расположенную, горизонтальную линию , что позволяет прийти к тому же заключению.

Все теоремы и свойства, приведенные в параграфе 10, могут быть непосредственно использованы для нахождения предела функции  при .

Пример 4: Найти предел функции  при .

   согласно Т2 из параграфа 10 имеем .

Пример 5: Найти предел функции  при .

Согласно утверждению 2 параграфа 10 имеем: .

Как показано  в предыдущем примере, при вычислении предела функции мы пренебрегаем величинами, имеющими более высокий порядок малости (малыми) по сравнению с величинами более низкого порядка малости (большими). Иначе говоря, в сумме  мы оставляем слагаемое , если , или наоборот, слагаемое , если . Приведем более точную классификацию малости одной величины по сравнению с другой.

1)   при .

Говорят, что  является величиной порядка малости не меньшего, чем  при , если отношение  ограничено для всех , больших некоторого .

Отметим, что отношение  не обязано иметь предел при . Например,

 поскольку , однако  не существует.

Перейдем к рассмотрению более частных случаев, когда  существует. 

2) 

Говорят, что  имеет тот же порядок малости, что и  если отношение  стремится к конечному, отличному от нуля числу.

3) 

Говорят, что  является величиной более высокого порядка малости по сравнению с , если отношение  стремится к нулю.

4)  .

Говорят, что величины  и  эквивалентны если отношение  стремится к единице.

Утверждение 1: Пусть , тогда если , где  - произвольная функция, то и .

Действительно, , функция , функция  ограничена, следовательно

Утверждение 2: При вычислении предела функции в суммах можно пренебрегать величинами более высокого порядка малости по сравнению с величинами более низкого порядка.

Действительно, пусть , тогда .

Утверждение 3: При вычислении предела функции можно заменять величину на эквивалентную.

Действительно, пусть , тогда .

Утверждение 4: При вычислении предела функции нельзя пренебрегать одной величиной по сравнению с другой, имеющей тот же или больший порядок малости.

Для нахождения пределов функций необходимо изначально классифицировать элементарные функции по порядку малости. Начнем с классификации при . Нам уже известна классификация степенных функций.

Утверждение 5: При  степенные функции с меньшим показателем степени имеют более высокий порядок малости (следует оставлять функции с большим показателем степени).

Утверждение 6: При  показательные функции с меньшим основанием имеют более высокий порядок малости (следует оставлять функции с большим основанием).

Действительно, пусть , тогда  и  (см. рис. 7), откуда получаем

.

Утверждение 7: При всех , в частности, при  все логарифмические функции имеют одинаковый порядок малости.

Действительно, .

Сравним теперь различные классы элементарных функций между собой.

Утверждение 8: При  степенные функции имеют более высокий порядок малости, чем показательные функции с основанием, большим единицы, и более низкий порядок малости, чем показательные функции с основанием, меньшим единицы.

Рассмотрим для начала , где  - произвольное натуральное число.

.

Поскольку для любой степенной функции  можно указать степенную функцию с большим натуральным показателем степени , которая растет быстрее, чем , но медленнее, чем , получаем, что  при любом . Рассмотрим теперь , где .     

. Введя обозначение , имеем . Первая часть утверждения 8 доказана.

      при любом  и                                                (62)  

Перейдем к рассмотрению случая, когда . Вводя обозначение , имеем

. Вторая часть утверждения 8 доказана.

      при любом  и                                             (63)