Примеры:
При рассмотрении расходящихся последовательностей также можно выделить три основных типа (см. рис. 15):
1) Неограниченно возрастающая последовательность . Отметим, что неограниченно возрастающая последовательность не обязана быть монотонной. Важно, чтобы нижняя граница «хвоста» последовательности неограниченно возрастала с ростом : .
Примеры: .
Пример 6: Доказать, что .
2) Неограниченно убывающая последовательность . Для неограниченно убывающей последовательности существенно, чтобы верхняя граница «хвоста» последовательности неограниченно убывала с ростом : .
Примеры: .
Пример 7: Доказать, что .
Отметим, что оценка верна для и неверна для , однако при вычислении пределов последовательностей важно, чтобы оценки выполнялись для «хвоста» последовательности (начиная с некоторого произвольного ).
3) Последовательность, не имеющая предела (в том числе и бесконечного). Данная последовательность не является монотонной, причем амплитуда колебаний ее не стремится к нулю. Последовательность может быть как ограниченной, так и не ограниченной (с возрастающей амплитудой).
Примеры последовательностей, конечные и бесконечные пределы которых не существуют:
- ограниченные последовательности,
- неограниченные последовательности.
Пример 8*: Показать, что последовательность не ограничена.
неограниченно возрастает (убывает) когда приближается к значениям справа (слева), см. рис. 11. Таким образом, последовательность не ограничена, если периодически (при больших ) принимает значения, сколь угодно близкие к . Поскольку иррациональное число может быть с любой степенью точности аппроксимировано рациональным числом , в сколь угодно далеком «хвосте» последовательности найдется число , такое что больше любого наперед заданного числа. Ч.Т.П.
Основные свойства пределов последовательностей:
Пусть
1)
2)
3)
4)
Все перечисленные свойства легко доказываются на основе общего определения 2.
Если есть непрерывная функция своих аргументов (см. §13), то
5)
6)
Пример 9: Найти предел последовательности .
Пример 10: Найти предел последовательности .
Пример 11: Найти предел последовательности .
Утверждение 1: .
Действительно, (см. рис. 4). Строгое доказательство утверждения полностью аналогично доказательству из примера 2.
Утверждение 2: При вычислении пределов последовательностей в сумме следует оставлять только слагаемое с большим показателем степени: .
Действительно, .
Пример 12: Найти предел последовательности .
Иначе:
Определение 5: Говорят, что последовательность стремится к нулю справа (слева), если и, начиная с некоторого , все члены последовательности . Пишут .
Отметим, что свойства 1-6 пределов последовательностей можно формально использовать и в случае, когда и/или . В этом случае необходимо учесть следующие формальные правила символьных вычислений:
Пусть есть некое постоянное (не зависящее от ) положительное число, тогда
(49)
Пример 13: Найти предел последовательности .
Пример 14: Найти предел последовательности .
Следует отметить, что независимое вычисление пределов последовательностей , с последующей попыткой определить предел последовательности как не всегда приводит к однозначному результату. В ряде случаев возникают соотношения символов, которые не позволяют определить предел . Такие соотношения носят название соотношений неопределенности. Появление соотношения неопределенности свидетельствует о том, что пределы последовательностей и нельзя рассматривать по отдельности. В этом случае следует вычислять предел последовательности непосредственно, без использования символьных обозначений.
К наиболее часто встречающимся соотношениям неопределенности относят:
(50)
Пример 15: Найти пределы последовательностей , , .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.