Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 11

Примеры:           

При рассмотрении расходящихся последовательностей также можно выделить три основных типа (см. рис. 15):

1)  Неограниченно возрастающая последовательность   . Отметим, что неограниченно возрастающая последовательность не обязана быть монотонной. Важно, чтобы нижняя граница «хвоста» последовательности  неограниченно возрастала с ростом : .

Примеры: .

Пример 6: Доказать, что .

2)  Неограниченно убывающая последовательность   . Для неограниченно убывающей последовательности существенно, чтобы верхняя граница «хвоста» последовательности  неограниченно убывала с ростом : .

Примеры:           .

Пример 7: Доказать, что .

Отметим, что оценка  верна для  и неверна для , однако при вычислении пределов последовательностей важно, чтобы оценки выполнялись для «хвоста» последовательности (начиная с некоторого произвольного ).

3)  Последовательность, не имеющая предела (в том числе и бесконечного). Данная последовательность не является монотонной, причем амплитуда колебаний ее не стремится к нулю. Последовательность может быть как ограниченной, так и не ограниченной (с возрастающей амплитудой).

Примеры последовательностей, конечные и бесконечные пределы которых не существуют:

 - ограниченные последовательности,

 - неограниченные последовательности.

Пример 8*: Показать, что последовательность  не ограничена.

 неограниченно возрастает (убывает) когда  приближается к значениям  справа (слева), см. рис. 11. Таким образом, последовательность не ограничена, если  периодически (при больших ) принимает значения, сколь угодно близкие к . Поскольку иррациональное число  может быть с любой степенью точности аппроксимировано рациональным числом , в сколь угодно далеком «хвосте» последовательности найдется число , такое что  больше любого наперед заданного числа.  Ч.Т.П. 

Основные свойства пределов последовательностей:

Пусть

1) 

2) 

3) 

4) 

Все перечисленные свойства легко доказываются на основе общего определения 2.

Если  есть непрерывная функция своих аргументов (см. §13), то

5) 

6) 

Пример 9: Найти предел последовательности .

Пример 10: Найти предел последовательности .

Пример 11: Найти предел последовательности .

Утверждение 1: .

Действительно,  (см. рис. 4). Строгое доказательство утверждения  полностью аналогично доказательству из примера 2.

Утверждение 2: При вычислении пределов последовательностей в сумме  следует оставлять только слагаемое с большим показателем степени: .

Действительно, .

Пример 12: Найти предел последовательности .

Иначе:

Определение 5: Говорят, что последовательность  стремится к нулю справа (слева), если  и, начиная с некоторого , все члены последовательности  . Пишут .

Отметим, что свойства 1-6 пределов последовательностей можно формально использовать и в случае, когда  и/или   . В этом случае необходимо учесть следующие формальные правила символьных вычислений:

Пусть  есть некое постоянное (не зависящее от ) положительное число, тогда

               (49)

Пример 13: Найти предел последовательности .

Пример 14: Найти предел последовательности .

Следует отметить, что независимое вычисление пределов последовательностей ,  с последующей попыткой определить предел последовательности  как  не всегда приводит к однозначному результату. В ряде случаев возникают соотношения символов, которые не позволяют определить предел . Такие соотношения носят название соотношений неопределенности. Появление соотношения неопределенности свидетельствует о том, что пределы последовательностей  и  нельзя рассматривать по отдельности. В этом случае следует вычислять предел последовательности  непосредственно, без использования символьных обозначений.

К наиболее часто встречающимся соотношениям неопределенности относят:

                                                  (50)

Пример 15: Найти пределы последовательностей , , .