Математика \ Математика

Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал), страница 16

Утверждение 9: При логарифмические функции имеют более высокий порядок малости, чем степенные функции с показателем, большим нуля.

Действительно, вводя обозначение , получаем при : (смотри (62), ).

При , вводя обозначение , имеем

. Утверждение 9 доказано.

при любом и (64)

Утверждение 10: При показательные функции имеют более высокий порядок малости, чем функция .

При , когда , утверждение очевидно. Покажем, что при , когда , имеет место аналогичный предел . Выберем натуральное число такое, что , тогда

. Утверждение 10 доказано.

при любом (65)

Для удобства дальнейшего использования суммируем полученные результаты, расположив основные элементарные функции в порядке увеличения их скорости возрастания при .

(66)

Здесь включает в себя класс ограниченных, отделенных от нуля функций, которые при больших удовлетворяют условию . Все функции, расположенные справа от стремятся к при , все функции, расположенные слева от , стремятся к при . Если есть произвольная функция, расположенная правее некоторой другой функции , то выполняются следующие предельные соотношения:

Пример 6: Найти предел функции при .

поскольку ,

Пример 7: Найти предел функции при .

поскольку .

Пример 8: Найти предел функции при , где - любое число.

Раскроем неопределенность , используя основное логарифмическое тождество, а также известный предел . Получаем: .

Перейдем к рассмотрению предела функции при . Определение предела функции при совпадает с определением 1, с точностью до замены на . Действительно, теперь речь идет о больших по модулю отрицательных значениях переменной , меньших любого заданного числа . С точки зрения построения графика, наличие у функции при конечного предела, равного , означает, что график функции имеет в области больших по модулю отрицательных (далеко слева) горизонтальную асимптоту .

Дадим еще одно эквивалентное определение предела функции при .

Определение 4:

(67)

Данное определение позволяет свести рассмотрение предела функции при к рассмотрению предела другой функции при . Новая функция получается из путем повсеместной замены на в выражении для .

Пример 9: Найти предел функции при и при .

Как видно из графика функции на рис. 13, функция имеет горизонтальную асимптоту в области больших положительных и горизонтальную асимптоту в области больших отрицательных . Следовательно, .

Второй предел можно выразить также через первый, использую определение 4 и свойство нечетности функции : .

Пример 10: Найти предел функции при и при .

. Здесь мы пренебрегли по сравнению с (см. (66)).

. Теперь мы пренебрегаем по сравнению с (см. (66)).

В целом, классификация функций по порядку малости при выглядит аналогично (66). Основное отличие составляют показательные функции, для которых порядок малости возрастает теперь с ростом основания.

13. Предел при . Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Перейдем к рассмотрению предела функции при , где есть некое конечное число. Различают пределы при справа, из области , и слева, из области .

Определение 1: Говорят, что функция имеет при справа (слева) предел, равный , если для любого (сколь угодно малого) можно указать , такое что для всех выполняется неравенство (). Пишут